x² +y² -x+2y+ 5/4 最小值

在給定x,y的絕對值情形下，
x >= 0，y <= 0時，x^2 +y^2 - x + 2y + 5/4會有最小值
所以不妨令x >= 0，y <= 0

則由 x絕對值+y絕對值=1 可得，x + (-y) = 1
=> y = x - 1 >=0
=> x >= 1
∴0 <= x <= 1

x^2 + y^2 - x + 2y + 5/4
= x^2 + (x-1)^2 - x + 2(x-1) + 5/4
= 2x^2 - x +1/4
= 2[x^2 - (1/2)x] + 1/4
= 2[x - (1/4)]^2 + 1/4 - 2*(1/4)^2
= 2[x - (1/4)]^2 + 1/8

∴當x=1/4(合)時，x^2 + y^2 - x + 2y + 5/4有最小值1/8


2009-09-19 20:41:51 補充：
更正：
y = x - 1 "<=" 0
=> x "<=" 1
∴0 <= x <= 1

感謝提醒，原本我是把x代換成y，想說改成y代換x比較漂亮。

2009-09-19 22:17:12 補充：
在給定x,y的絕對值情形下，x^2 +y^2+5/4的值也會確定，不能確定的只剩 - x+ 2y
顯然 x >= 0，y <= 0時，- x + 2y會有最小值
∴只需考慮x >= 0，y <= 0的情況

需要考慮4個情況.
x >= 0, y >= 0
x >= 0, y < 0
x < 0, y >= 0
x < 0, y < 0
再合併結論.