超廣義柯西不等式？

我證更一般化的情形:
令a_i,j≥0,1≤i,j≤n, 1≤pi<∞,i=1,...,n, then we have:
Σ(j=1~n)[a1,j..............an,j]≤[Σ(ai,j)^pj]^(1/pj)[Σ(a2,j)^p2]^(1/p2)*.....*[Σ(an,j)^(pn)]^(1/pn)
當p1=p2=...=pn=n時 就是你所提的問題
[預備知識] 假設 a_i>0,i=1,..,n, 1≤pi<∞, with Σ(i=1~n)(1/pi)=1. 則a1*a2*......*an≤Σ(i=1~n)(ai)^(pi)/pi
證明: 令 xi=pi(ln(ai)) i=1,..,n 則 (ai)^pi=e^pi(ln(ai))=e^xi
利用e^x的凸性及Jensen inequality, 得到:
e^(Σ(i=1~n)xi/pi)≤Σ(i=1~n)e^xi/pi
=>a1*a2*.....*an≤Σ(i=1~n)(ai)^pi/pi 得證
證明我們的問題 : 假設ai,j=0 for some i,j 則不等式顯然成立, 因為左式=0
故可以假設 ai,j>0 for all i and j
又如果右邊是子其中一個是∞,則不等號也一樣成立 故可以假設
0<[Σ(j=1~n)(ai,j)^pi]^(1/pi)<+∞ for all i
先考慮這樣的情況: [Σ(j=1~n)(ai,j)^pi]^(1/pi)=1 for all i
則根據我們的預備知識 , ai,j*....an,j≤Σ(i=1~n)(ai,j)^pi/pi
再對j 作summation,得到 Σ(j=1~n)ai,j*.....an,j≤[Σ(j=1~n)(ai,j)^p1]/p1+[Σ(j=1~n)(a2,j)^p2]/p2+...+[Σ(j=1~n)(an,j)^pn]/pn
=1/p1+1/p2+...+1/pn=1
=[Σ(j=1~n)(ai,j)^p1]^(1/p1)[Σ(j=1~n)(a2,j)^p2]^(1/p2)]*....*[Σ(j=1~n)(an,j)^pn]^(1/pn) 得證
接著考慮一般的情形 因為[Σ(j=1~n)(ai,j)^pi]^(1/pi)>0 for all i
令bi,j=(ai,j)/[Σ(j=1~n)(ai,j)^pi]^(1/pi) for any i,j
then [Σ(j=1~n(bi,j)^pi]^(1/pi)=1 for all i
所以利用我們前面證得的結果 得到Σ(j=1~n)b1,j*...*bn,j≤[Σ(j=1~n)(bi,j)^pi]^(1/p1)*...[Σ(j=1~n)(bn,j)^pn]^(1/pn)
=>[Σ(j=1~n)a1,j*...*an,j]/A≤1
=>[Σ(j=1~n)a1,j*...an,j]≤A
其中 A=[Σ(j=1~n)(ai,j)^p1]^(1/p1)]*...[Σ(j=1~n)(an,j)^pn]^(1/pn)]
這就是我們要鄭的


2009-09-17 21:42:17 補充：
結果

2009-09-17 21:43:08 補充：
我猜你書上的講義應該是用數學歸納法

2009-09-17 21:49:06 補充：
符號實在很難打

有錯再說

2009-09-17 23:08:35 補充：
算幾不等式使用有其限制

只能討論正整數的情形

我的pi可以是一般大於一的正實數

2009-09-17 23:17:05 補充：
算幾不等式有其使用上的限制

只能討論正整數的情形

而一般的廣義柯西(也就是Holder's 不等式)

通常都是討論大於一的正實數的情形

以版主的程度 應該沒問題吧

2009-09-18 09:54:20 補充：
pi 要限制在(1,+∞) 對於所有 i

且滿足Σ(1/pj)=1

大師的功力不凡,一下子將所有問題都解完,
套句老康的口頭禪:其他人都失業了!

版大您好：

您所說的（廣義）柯西不等式確實是有的，但是您的敍述有點不詳細：

[廣義柯西不等式]

給
a[1][1] , a[1][2] , ... , a[1][n]
a[2][1] , a[2][2] , ... , a[2][n]
...
a[m][1] , a[m][2] , ... , a[m][n]
皆是非負實數， n 為比2 大之自然數。則：

(a[1][1]^m + ... + a[1][n]^m)(a[2][1]^m + ... + a[2][n]^m)...(a[m][1]^m + ... + a[m][n]^m) ＞＝
(a[1][1]a[2][1]...a[m][1] + a[1][2]a[2][2]...a[m][2] + ........ + a[1][n]a[2][n]...a[m][n])^m


以下提我看過最簡單的證法，使用算幾不等式（關於其證明可參考高三數學甲課本）：
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=fpn12099&b=2&f=o1630793142.jpg&p=26

2009-09-18 15:46:22 補充：
算幾不等式的效用確實較Holder 不等式不足 , 應該說遠遠不足 .
但是要證明一個東西 , 能用簡單的概念應該盡量簡單 , 這是我基本的想法 .
不然就有點像割雞用牛刀

2009-09-24 12:12:07 補充：
我回答的證明問題一律是嚴謹的 , 如果一個證明能被挑出問題 , 那就不能說它是證明了..

每個均>= 0吧!