工數利卡迪方程式

I. Raccati Eq.
原方式除以x得 xy'-y+xy²=0
觀察知 y= 2/x為一解(或令 y= a x^b代入原式找解)
令通解 y= 2/x + 1/u (u=u(x))
y'= -2/x²- u'/u² 代入 xy'-y+xy²=0
x( -2/x² - u'/u²)-2/x - 1/u + x[4/x²+ 4/(xu)+ 1/u²]=0
-xu'/u²+ 3/u +x/u²=0
u'- (3/x) u= 1 (first order linear ODE)
乘上積分因子 exp[∫(-3/x) dx]= exp(-3lnx)= 1/x³, 得
(u/x³)' = 1/x³
u/x³= -1/(2x²) + C
u= -x/2 + Cx³
y=2/x+ 1/u= 2/x + 1/(-x/2+ Cx³)

II. Bernoulli Eq.
y'- (1/x) y= - y²
令 u=1/y => xu'+u= x => (xu)'=x
xu= x²/2 + C, u= x/2 + C/x
y= 1/u= 1/(x/2 + C/x)

註:兩答案只是型式不同而已!

x^2y'-x*y+x^2*(y^2)=0; (除以x^2):(*) y'-(1/x)y=-y^2就成了一個伯努力方程式(Bernoulli Equation), with n=2.參照制式解法使用代換{w(x)=[y(x)]^-1, w'(x)=-y^(-2)*y'(x)}將(*)變更為(**) w'+(1/x)w=1 ---一個線性一階微分方程式for w=w(x). 將(**)之通解求出: w(x)=x/2+C/x, C: arbitrary constant. 早先的代換{w(x)=[y(x)]^-1}顯示y(x)=[w(x)^-1], 故得原方程式通解y(x)=1/[x/2+C/x], 存在於適當的區間.