微積分.旋轉表面積

2009-09-16 10:08 pm
XY平面上各點座標:

A(a,0), O(2a,0), B(2a,a) 其中AB為1/4圓,O為圓心

圓弧AB及Y=0及X=2a 圍成的封閉面積

繞Y軸旋轉1/4圈後,圓弧AB所掃過的表面積=?
更新1:

小弟另有一解法:想法直接,積分較繁 (x-2a)^2+y^2=a^2, y=√a^2-(x-2a)^2 -> dy/dx= -(x-2a)/√a^2-(x-2a)^2 circular arc segment = ds rotational segment= x dθ [x: radius of rotation) Area=∫ds *∫x dθ [rectangular]

更新2:

ds=√dx^2+dy^2 = √1+(dy/dx)^2 * dx Area=∫√1+[-(x-2a)/√a^2-(x-2a)^2]^2 dx * x [π/2 – 0] =π/2 ∫x * √1+[-(x-2a)/√a^2-(x-2a)^2]^2 dx Let t=x-2a, after integration, Area=πa^2(π-1)/2 Where ∫tdt/√a^2-t^2 = √t^2-a^2, ∫dt/√a^2-t^2 = arcsin (t/a)

回答 (3)

2009-09-18 9:14 am
✔ 最佳答案
2π*a^2(π-1)

2009-09-18 01:14:24 補充:
圓方程式為(x-2a)^2+y^2=a^2 (設a>=0)
參數式為(x, y)=(2a+a cost, a sint), t=π/2~π
弧長微分 ds=√[(x')^2+(y')^2] dt = a dt
繞y軸旋轉 1/4圈得表面積=∫[π/2~π] 2π(2a+a cost)*(1/4)* a dt
= (πa^2)/2∫[π/2~π] (2+cost) dt
= (πa^2)/2 * (2t + sin t) , 代 t=π/2 ~π
= (πa^2)(π-1)/2
註:因旋轉 1/4圈, 故求表面積的積分有 1/4 倍

2009-09-18 02:07:16 補充:
圓錐平台(大圓錐扣掉上面的小圓錐),上半徑 r, 下半徑R,側高h, 則
側面面積= π(R+r)*h
當平台很薄時即 2πR* ds

2009-09-18 02:09:22 補充:
旋轉體體積是 πR^2 *(厚度), 兩者相差一個長度因次

2009-09-18 09:39:21 補充:
教書的您好:
(shell method)與中心軸平行之cylindrical shell體積為 2πRH*(厚度)
or 2πxy*(厚度), 是有點相似!
2009-09-18 9:55 am
請問煩惱即是菩提:

可以解釋一下您的表面積公式嗎? 積分2pixds? 和求旋轉體體積公式那麼神似?

我大概誤會[圓弧AB所掃過的表面積=?]的意思了.

2009-09-18 04:26:53 補充:
煩惱即是菩提:

我所指的是積分2pixdy---Volume by cylindrical shell method.
沒錯,我同意您的答案. 我也找到我出錯之處: 旋轉之後圓弧仍有對稱性,但表面積和體積部份已失去對稱性了.故不能取總表面積之1/16作答.
2009-09-17 3:28 pm
「煩惱即是菩提」所言為真


收錄日期: 2021-05-04 00:54:49
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090916000015KK03634

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