一題IMO試題證明題

哲

2009-09-04 1:57 am

圖片參考：http://img137.imageshack.us/img137/6572/21927923.jpg

如上圖，ΔABC中，邊AB=邊AC
圓K內切於ΔABC的外接圓
並與AB，AC分別相切於P，Q
試證明：線段PQ的中點I是ΔABC的內心

更新1:

"∠PAM=∠PKI=x"？從圖看起來差很多呢 "△APK~△ABK"？ ∠APK=90度 ∠ABK>90度！

更新2:

因△APK~△ABM，所以 AP：PB=AK：KM PB=AP*KM/AK 又因 ∠PAM=∠KPI=x，所以 PB=AP*KM/AK=KM*(AP/AK) =KM*cos(x) =PK*cos(x) =PI 故PB=PI 得I為內心這個證明更簡單

回答 (1)

mathmanliu

2009-09-04 3:15 am

✔ 最佳答案

只要證明PI=PB即可! (因PQ//BC, 再連接BI,即知)
證KI=d, 大圓半徑R, 小圓半徑 r, ∠PAM=∠PKI=x
AI=2R-r-d,
△APK,母子定理: PI^2=KI*AI=d(2R-r-d) ------(A)
AP^2=AK*AI=(2R-r)(2R-r-d)
△APK~△ABK =>AB:AM=AP:AK , AB=AM*AP/AK=2R*AP/(2R-r)
=> PB=AB-AP= r*AP/(2R-r)
=> PB^2= r^2*AP^2/(2R-r)^2= r^2 (2R-r-d)/(2R-r) ---(B)
又 d=KI=PK*sinx= PK*PK/AK= r^2/(2R-r) ----(C)
(A)/(B)= d(2R-r)/r^2
= r^2/(2R-r) *(2R-r)/r^2 = 1
故(A)=(B)即 PI=PB, 得證.

2009-09-03 20:17:48 補充：
更正:△APK~△ABM

2009-09-03 20:18:48 補充：
∠PAM=∠KPI=x

2009-09-04 20:18:08 補充：
板大,好方法!

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