✔ 最佳答案
Jensen's inequality
若實數函數 f(x)圖形為凹向上(開口向上), 則
[a f(x1)+b f(x2)+...+c f(xn)] / (a+b+c) >= f[(a x1+bx2+...+ c xn)/(a+b+c)]
其中 a, b, ..., c為任意正數,
即函數值的(加權)平均 >= 相對自變(加權)平均的函數值
Note:
1. (a x1+ b x2+... + c xn)/(a+b+c) 即 x1, x2, ..., xn的(加權)平均
2. 若 f(x)圖形為凹向下(開口向下), 則不等式大小相反
2009-09-03 00:18:03 補充：
證明請參考:
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1008102510149
2009-09-03 19:43:59 補充：
數學歸納法證明此題,應是首見,我試試:
設 f(x)圖形凹向上, a1,a2,...為任意正數, n 為任意正整數
證明 [a1 f(x1)+...+an f(xn)]/(a1+...+an)>= f[(a1 x1+...+an xn)/(a1+...+an)]
(1) n=1顯然成立
(2) n=2時, 點A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)) 的內分點PA: PB= a2: a2, 則P(x, y)
x=(a1 x1+ a2 x2)/(a1+a2)
y= [ a1 f(x1)+ a2 f(x2)]/ (a1+a2)
2009-09-03 19:44:09 補充：
因f(x)圖形凹向上, A,B之間的曲線在AB線段之下,則
P之y坐標>= 相對之曲線y坐標= f[ (a1 x1+ a2 x2)/(a1+a2) ],
故原式成立(for n=2 case)
(註:必須證明 n=2 case !)
2009-09-03 19:52:09 補充：
設n=k時原式成立, 設 X=(a1 x1+ a2 x2+...+ak xk)/(a1+...+ak)
即已知 f(X)<= [ a1 f(x1)+...+ak f(xk) ]/(a1+...+ak) -----(A)
(3) n=k+1時
f{ [(a1+...+ak)X+ a(k+1) x(k+1) ]/ [(a1+...+ak)+a(k+1)]}
<= {(a1+...+ak)f(X) + a(k+1) f[x(k+1)] }/[ (a1+..+ak)+a(k+1)] (即n=2 case)
2009-09-03 19:52:33 補充：
<= [ a1 f(x1)+...+ak f(xk) + a(k+1) f(x(k+1))]/ [ a1+...+ak+ a(k+1)] (By (A))
即 n=k+1時, 成立
由數學歸納法,故得證
2009-09-03 21:03:45 補充：
n=k時, p1+..+pk=1重點是"任意k個"正數和=1
n=k+1時, p1+...+pk+p(k+1)=1,這裏的p1~pk與n=k時的p1~pk不同!
OK!?
