代數求解。

版大您好：

假設所求為R . 則首先，由

0 = [x^2 / (y+z)] + [y^2 / (z+x)]+[z^2 / (x+y)]

　= x [ x / (y+z) ] + y [ y / (z+x) ] + z [ z / (x+y) ]

　= x [(x+y+z)/(y+z) - 1 ] + y [(x+y+z)/(z+x) -1 ] + z [(x+y+z)/(x+y) -1]

故 (x+y+z) R = (x + y +z )

所以 R = 1 , 或 x + y + z = 0

當後者成立時 , x/(y+z) = y/(z+x) = z/(x+y) = -1 , 故得 R=-3 .





To 煩惱即是菩提(知識長) 大大: 不好意思請問一下，您的第四行是不是也忘了括號? 還是我看錯?

2009-08-31 16:08:01 補充：
sorry , 我看成 [-x-p+p^2/(p-x)] 是分子同加減 p , 沒有想到是分在三個括號裡面 , 難怪我有點看不懂。

設x+y+z=p (不一定是常數)x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y) = 0
x^2/(p-x)+y^2/(p-y)+z^2/(p-z) = 0
[-x-p+p^2/(p-x)]+[-y-p+p^2/(p-y)]+[-z-p+p^2/(p-z)]=0
-(x+y+z)- 3p + p^2[1/(p-x)+ 1/(p-y)+ 1/(p-z)]=0
- 4p + p^2[ 1/(p-x)+...+1/(p-z)]=0
p{- 4 + p[ 1/(p-x)+...+1/(p-z)]}=0 => p=0 or 1/(p-x)+1/(p-y)+1/(p-z)= 4/p

2009-08-31 14:56:55 補充：
case 1: p=0
x+y+z=0
x/(y+z)+ y/(z+x)+z/(x+y)= x/(-x)+ y/(-y)+z/(-z)= - 3
case 2: 1/(p-x)+...+1/(p-z)= 4/p
(x+y+z)/(y+z)+(x+y+z)/(z+x)+(x+y+z)/(x+y)= 4
1+ x/(y+z) + 1+ y/(z+x)+ 1+ z/(x+y)= 4
x/(y+z)+ y/(z+x)+ z/(x+y)= 1
註: x^2/(y+z)與 (x^2/y+z)是不同的,
板大程度不差,不應該犯這種錯誤!

2009-08-31 15:00:52 補充：
第四行:[-x-p+p^2/(p-x)]+[-y-p+p^2/(p-y)]+[-z-p+p^2/(p-z)]=0
即[(-x-p)+p^2/(p-x)]+[(-y-p)+p^2/(p-y)]+[(-z-p)+p^2/(p-z)]=0
先乘除後加減, so, 沒錯!

SkyPenguin寫法較簡潔,因此刪除,列為意見!

y+z

第一個括號裡的分母是y,還是y+z