geometry超級難題,高手請進!

STEVIE-G™

2009-08-29 9:49 pm

Question:
Find the values of a and b that give a minimum value of the area , S ,for the region enclosed by the curve y=-x^2+ax+b(which passes through point (1,2) ) and the curve y= 1/2x^2.
Solution:
Pass through (1,2) => b = 3-a

上面條curve係 y = -x^2+ax+b = -x^2+ax+3-a
下面條curve係 y = x^2/2

相減, y = -3x^2/2+ax+3-a ---------(3)

因為(3)一定pass through (1,1.5), 同埋x^2個coefficient係negative constant
所以(3)個vertex要喺(1,1.5)就會minimize la

First derivative或者completing square, a = 3, b = 0
(以上solution來源自http://forum3.hkgolden.com/view.aspx?type=BW&message=1856445的AvadaKedavra)
他這個解法的explain如下:
其實都係用parabola嘅property
同一個shape嘅parabola (即係x^2嘅coefficient係constant) 如果fix喺一點A嘅話，咁當個vertex等如A嘅話，parabola同x-axis中間個area就會係最細
因為係咁嘅情況下vertex會距離x-axis最近
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我想問有冇人可以解釋佢的原理，又或者以數學方法證明他的理論？

更新1:

要用到partial differentiation來解題,勁~~

回答 (1)

myisland8132

2009-08-30 1:21 am

✔ 最佳答案

Avada Kedavra 的 statement 是：對一條通過某一固定點 (p,q)的parabola ﹐若該 parabola 的頂點即是該固定點 (p,q),則此parabola與x軸間圍成的面積最小。
這好明顯是一條soa型的精算型題目。可以用「已知...想要...」的思考模式解決。
已知：一條拋物線y=ax^2+bx+c (a<0)
這條拋物線過(p,q)
想要：一條拋物線而且與x軸間圍成的面積最小﹐具體而言﹐只要証明到p=-b/2a便行了。
輔助式子：
x_1+x_2=-b/a
x_1x_2=c/a
x_2-x_1=√[(b^2-4ac)/a^2]
x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(b^2-ac)/a^2
考慮任意一條拋物線與x軸間圍成的面積 S
= ∫(ax^2+bx+c) dx
=(a/3)(x_2^3-x_1^3)+(b/2)(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)
=(a/3)(x_2-x_1)(x_1^2+x_2^2+x_1x_2)+(b/2)(x_2-x_1)(x_1+x_2)+c(x_2-x_1)
=√[(b^2-4ac)/a^2]{(a/3)[(b^2-ac)/a^2]+(b/2)(-b/a)+c}
=√[(b^2-4ac)/a^2]{(4ac-b^2)/6a}
=(b^2-4ac)^(3/2)/6a^2 [因為b^2-4ac>0,a<0及S>0]
另外 ap^2+bp+c=q
現在考慮 I=(b^2-4ac)^(3/2)/6a^2+λ(ap^2+bp+c-q)
∂I/∂b=(b/2a^2)√[(b^2-4ac)]+λp
∂I/∂c=(-1/a)√[(b^2-4ac)]+λ
令∂I/∂b=∂I/∂c=0
-2a^2λp/b=λa
p=-b/2a
因此Avada Kedavra 的 statement 是對的

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