Maths 數學 combination

這題的重點應該在"只有這兩種case"!
我以C(n, i) (i為變數)的遞增遞減分析之
C(n, i+1)/C(n, i)= (n-i)/(i+1), 故
(n-i)/(i+1)>=1時(n >= 2i+1), C(n, i+1)>= C(n, i) (increasing)
(n-i)/(i+1)<=1時(n <= 2i+1), C(n, i+1)<= C(n, i) (decreasing)
所以 y=C(n, x)的圖形為"富士山"型 (前半遞增,後半遞減)
故 C(n, x)=C(n, a), 有兩種情形(前半一個根, 後半另一根)
x=a, 及 x= n-a
即 b=a or b=n-a (a+b=n)

Q.E.D.

C(n,a)=n!/[(n-a)!a!]
C(n,b)=n!/[(n-b)!b!]
If C(n,a) = C(n,b) then a = b or a = n - b