二題國中數列及組合應用問題

2009-08-28 7:31 pm

(1)某醫院掛號門診編號從1到N , 今日小孬孬的編號是排到三位數
ABC , 他的好友莊幗龍告訴他..........[ 小孬孬 , 你知道嗎 ? 剛剛稍
稍算了一下 , 你的前面編號總和剛好=你後面編號總和吔 ]
請問各位大大 : ①小孬孬是幾號 ② N是多少 ?
(2) 23這個數字 , 如果由至少2個正整數相加 , 則..........
它有幾種組合方式 ? 組合中數字全相異的又有幾組 ?
註 : 回答請詳述過程 , 感謝您 !

回答 (4)

mathmanliu

2009-09-03 2:06 am

✔ 最佳答案

Q1:
設三位數編號為k, 總編號為1~n, 則
1+..+(k-1)= (1+...+n) - k - [1+...+(k-1)]
k(k-1)=n(n+1)- 2k - k(k-1) => n(n+1)= 2k^2 => n^2 < 2k^2
k=100~999 => n^2大約為 2k^2 => n大約 141~1414
而 n, n+1互質, 且n(n+1)=2k^2=> n or n+1為必為奇數之完全平方
=>n只可能是 13^2, 15^2, ..., 37^2 or 13^2-1, 15^2-1, ..., 37^2 -1
又 n(n+1)= 2k^2 =>只有 (17^2 -1)*17^2= 2*12^2*17^2符合
故 n=17^2-1= 288, k= 12*17=204
Q2: 沒想到好方法,寫程式找吧! (若有次序別, 也許遞迴可求之)

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