Σ1/k^2=pi^2 /6型的證明

版大您好：

剛剛瀏覽了以前常上的數學網站，又看了一次它的證明，其中用到最深的概念只有夾擠定理。分享一下：

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_09/index.html

它用到一些 [連作夢都想不到] 的方法，例如：

1. De Moivre 定理（這個超扯）
2. 二項式定理
3. 根與係數
4. cot 函數的性質（這個也有點扯）
5. sin x < x < tan x （用它來造 pi）
6. 夾擠定理

關於文章說適當修飾可得到一般式，但是我曾經試了好久卻找不到那個適當的修飾。不過我那時候有做到十次方，每往上一次難度就增加很多。

做Σ1/k^4 時，要把 Σcot^2 變成 Σcot^4 , 因為要配合5. , 製造 1/x^4 。因此要用到 (Σa[k] )^2 = Σa[k]\^2 - 2 (Σa[j]a[k] )

而做六方的時候，要用到 Σa[k]^3 - 3(Σa[i]a[j]a[k]) = (Σa[k])^3 - ...... , 那是由 a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(....) 猜出的一般式。

做八方，十方時要猜出它們的求值公式，好套入根與係數，至於有些係數，需要 [無所不用其極] 地把它猜出來。

結論：用基礎方法，很麻煩！

將Bernoulli polynomial B_2n(x), 對 x=0~1, 作半幅cos展開,
再令x=0,即得
Σ 1/k^(2n) = -(-1)^n (2 pi)^(2n)/[2 (2n)!] *B_2n(0),
n=1,2,3,....
B_2(0)=1/6, B_4(0)= -1/30, B_6(0)= 1/42, B_8(0)=-1/30, B_10(0)=5/66

基本上要計算這些東西都至少要學到微積分
有些方法需要用到 Fourier 級數
不之版大的程度為和?
其實每種證法都不是想樣中的簡單

提供一個不嚴格的證明你看看(證 Σ1/k^2 = pi^2 /6 )
http://tw.group.knowledge.yahoo.com/math-etm/article/view?aid=49
(雖然不是嚴格的證明，不過這我看到是最簡單的了)

你好!我是理由伯，這個問題問我就對了
公式計算也是我的專長之一
根據我多年的經驗
你想要解決這些公式計算
方法很簡單的啦
你只需要把這個題目
然後拿去問你的老師
相信老師會很熱心的教你
如果你們老師不會的話
你可以打電話來問我
我的電話是3345678
記得晚上十點過後不要打來
因為我己經在睡覺了