空間中的平面橢圓求高度(二)

橢圓 x²/a²+y²/b²=1參數式(x,y)= (acost, bsint)
也就是 acost(1,0)+bsint(0,1),
其中(1, 0), (0,1)分別長短軸單位方向.
將這個觀念在空間中使用(這應該就煩惱即是菩提大師的提示!)

本題長軸半長= 7, 長軸單位方向AB(向量)/7 = (2, 6, 3)/7
設短軸單位方向為(a, b, c), a²+b²+c²=1 (單位向量)
(1) (a, b, c)與(2, 6, 3)垂直, 故 2a+6b+3c=0
(2)橢圓參數式為(x, y, z)=(1, -2, 2) + 7cost *(2, 6, 3)/7+ 3sint*(a,b,c)
(x, y, z)=(1+2cost+3a sint, -2+6cost+ 3b sint, 2+3cost+ 3c sint)
z坐標= 2+3cost+3c sint, 最大值=2+3√(1+c²), 最小值=2-3√(1+c²)²
最大時, t= pi/4, 最小時t= 5pi/4
(3) 由 a²+b²+c²=1, 2a+6b+3c=0
可得 c²最大值= 40/49
故橢圓z坐標最大值= 2+(3/7)√89, 最小值=2-(3/7)√89
(a, b, c)以及短軸頂點,也可以求得(略)

2009-08-29 23:45:21 補充：
補充:
2a+6b+3c=0, c= -3b-3c/2, 代入a²+b²+c²=1, 可得 10b²+9bc+13/4 c²-1=0
判別式 >= 0 ,故 49c² - 40 <= 0, c² <= 40/49

2009-08-30 01:20:31 補充：
謝謝大師抬愛,明天再解您那題improper積分!

To:老王
Sorry!沒看清楚您的分母7和√
最大高度是 2+(3/7)√89沒錯!

2009-08-27 17:17:07 補充：
我用向量算的,您呢?
這兩題請寫下來吧!

2009-08-27 17:18:37 補充：
應該說向量+參數式!

2009-08-27 17:25:36 補充：
我熱昏了,是三題!
請幫忙寫一下吧!

2009-08-30 14:15:06 補充：
幾點意見:
1. 這兒是知識家,不是任何考試的研究場地
這個園地是互相討論學習的好平台
2. 中學的平面幾何常在xy平面上討論,但也偶有空間平面曲線出現
3. 2維平面找兩個垂直單位向量的概念,可用在非標準式的平面曲線,
也可用在任意度空間使用,個人覺得是可參考或討論的想法
(PTT上也有這類討論題目)
4. 聯考的出題老師都很節制(用力出簡單又有創意的考題)
比較有創意的題目也幾乎都有提示(多選題或分為數小題)
5. 向量與參數式結合的手法,高手都不願採用,以後就不再提出了!

不會吧??
2+(3/7)根號89 ?????

2009-08-27 16:58:25 補充：
我的觀念有問題嗎??
z的最大值應該發生在與xy平面垂直的情況吧

2009-08-27 17:23:52 補充：
我是把它轉到yz平面
寫出方程式
然後用柯西
可是還要轉回去
覺得很煩
還沒轉

2009-08-30 20:34:17 補充：
不好意思，多說了兩句
不過使用曲線參數式的方法
這個在高中應該不會教到
而我真的在這題上面沒有想到這種做法
見笑了