空間幾何問題求高度的最大小值!

7/3,1

2009-08-27 07:43:26 補充：
題目的P和Q高度一樣
顯然R就是最低點
那麼最高點就是2G-R(G為PQR的重心)

2009-08-27 20:46:26 補充：
恭敬不如從命
顯然PQR構成正三角形，其重心為圓心(5/3,5/3,5/3)
並且PQ的高度相等且高於R
過R的切線會與PQ平行
故可知R為最低點
再由對稱性可知
最高點為2(5/3,5/3,5/3)-(2,2,1)=(4/3,4/3,7/3)
故z的最大值為7/3，最小值為1

另法，利用投影到xz平面或是yz平面(我是投到yz平面)
過PQR的平面方程式為x+y+z=5
過PQR的球面方程式選擇x^2+y^2+z^2=9
以x=5-y-z代入整理得到
y^2+yz+z^2-5y-5z+8=0
視為y的二次方程，有實數解的條件
(z-5)^2-4(z^2-5z+8) >= 0
3z^2-10z+7 <= 0
(3z-7)(z-1) <= 0
1 <= z <= 7/3

Linch的圖好棒!
老王的答案是正確的,怎求的呢?

2009-08-27 00:23:13 補充：
Sorry!看錯了,球有很多個!

2009-08-27 09:15:41 補充：
老王的觀察好妙!

2009-08-27 09:33:40 補充：
Linch的空間感很好,但不知投影的想法為何?(有很多方向可投影)

檢驗PQ=OR=RP=根號2
為正三角形
可得圓心為(5/3，5/3，5/3)
圓方程為(X-5/3)^2+(Y-5/3)^2+(Z-5/3)^2=2
求Z的最大、最小值
即前2項均為0，Z才會有最大最小值
得(Z-5/3)^2=2
Z=5/3+根號2或5/3-根號2
即為最大最小值

有了圓心, 半徑, E 與 xy 平面夾角應該就可以了

2009-08-26 15:19:32 補充：
q40410:

1. 方程 (X-5/3)^2+(Y-5/3)^2+(Z-5/3)^2=2 是求面方程式
2. 半徑不是√2 (應該是 √2 / √3)
3. 球面上最高的點未必是圓上最高的點

2009-08-27 00:02:54 補充：
提供一張圖
http://i580.photobucket.com/albums/ss244/linch_1/picture-273.jpg

2009-08-27 00:25:56 補充：
是實上我那個圖可以想成是
球 (x - 5/3)^2 + (y - 5/3)^2 + ( z- 5/3)^2 = 2/3
與 x + y + z = 5 所相交的曲線即是圓C

利用球心 (5/3, 5/3, 5/3) 半徑 √2 / √3 以及 E 與 xy 平面夾角θ
可得 cos θ= 1/√3

所以 z 最大值是 5/3 + (√2 / √3 ) * sin θ = 5/3 + 2/3 = 7/3

2009-08-27 01:01:45 補充：
好像應該也可以用投影來做吧!!