中二數學難題

1.求以下恆等式中，A、B及C的值。
2x^2-Bx+4c=Ax(x-2)+B
2x^2 - Bx + 4C = Ax^2 - 2Ax + B
比較各項 :
A = 2
- B = - 2A , B = 4
4C = B , C = 1
2.利用恆等式展開下列各式。
(a)((1/3)x-6)^2
= (1/3)^2 * (x^2) - 2(1/3)x(-6) + 6^2
= x^2 /9 + 4x + 36
(b)((-4x/3)+2)((-4x/3)-2)
= (-4x/3)^2 - 2^2
= (16/9)x^2 - 4

3.證明(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3。
L.H.S =
(x+y)(x+y)^2
= (x+y)(x^2 + 2xy + y^2)
= x^3 + 2yx^2 + xy^2 + yx^2 + 2xy^2 + y^3)
= x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3
= R.H.S.
4.因式分解下列各多項式。
(a)8m^2-24mn+18n^2
= 2 (4m^2 - 12mn + 9n^2)
= 2 (2m - 3n)^2
(b)1-2a^2+a^4
= (a^2)^2 - 2a^2 + 1
= (a^2 - 1)^2
= (a-1)^2 * (a+1)^2

5.(a)因式分解x^4-6x^2+9。

= (x^2)^2 - 2(3)x^2 + 3^2
= (x^2 - 3)^2
(b)由此，因此分解x^4-6x^2+9-4x^2
= (x^2 - 3)^2 - (2x)^2
= (x^2 - 3 - 2x)(x^2 - 3 + 2x)
= (x^2 - 2x - 3)(x^2 + 2x - 3)
= (x - 3)(x + 1) * (x - 1)(x + 3)
= (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)
6.因式分解x^6-1

= (x^3)^2 - 1^2
= (x^3 - 1)(x^3 + 1)
= [(x^3 - x) + x - 1] [x^3 - x + (x + 1)]
= [x(x^2 - 1) + (x - 1)] [x(x^2 - 1) + (x + 1)]
= [x(x+1)(x-1) + (x-1)] [x(x-1)(x+1) + (x+1)]
= (x-1)[x(x+1) + 1] (x+1)[x(x-1) + 1]
= (x - 1)(x^2 + x + 1) * (x + 1)(x^2 - x + 1)
= (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)
7.(a)因式分解x^4+x^2+1。(提示:與x^4+2x^2+1比較。)
= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2
= (x^2 + 1)^2 - x^2
= (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)
(b)用a)的結果，因式分解(x+1)^4+(x+1)^2+1。
將 b) 中的 (x+1) 看作 a)中的 x :
= [(x+1)^2 - (x+1) + 1] [(x+1)^2 + (x+1) + 1]
= (x^2 + 2x + 1 - x - 1 + 1) (x^2 + 2x + 1 + x + 2)
= (x^2 + x + 1) (x^2 + 3x + 3)




2009-08-24 18:47:32 補充：
在第6題中,由於中二末學 a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^3)

所以應該用添項,消項來處理 x^3 - 1 及 x^3 + 1。以達出題者要求。

到高Form時可直接用公式。

1.)求以下恆等式中，A、B及C的值。
2x^2-Bx+4C=Ax(x-2)+B
2x^2-Bx+4C=A(x^2)-2Ax+B
對比左右列式,得出:
A(x^2)=2x^2
A=2//
-Bx=-2Ax
-B=-2(2)
B=4//
4C=B
C=(4)/4 =1//
---------------------------------------------------------------------------------------
2.)利用恆等式展開下列各式。
(a)[(1/3)x-6]^2
=1/9(x^2) - 4x +36//
(b)[(-4x/3)+2][(-4x/3)-2]
=(16x^2/9)-4//
---------------------------------------------------------------------------------------
3.)證明(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3。
左方=(x+y)^3
=(x+y)(x^2- 2xy +y^2)
=x(x^2- 2xy +y^2)+y(x^2- 2xy +y^2)
=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=右方//
---------------------------------------------------------------------------------------
4.)因式分解下列各多項式。
(a)8m^2-24mn+18n^2
=(4m-6n)(2m-3n)//
(b)1-2a^2+a^4
設a^2=b,
=1-2b+b^2
=(1-b)^2
=(1-a^2)^2
=(1-a^2)(1+a)(1-a)//
---------------------------------------------------------------------------------------
5.(a)因式分解x^4-6x^2+9。
設x^2=y, y^2-6y+9
=(y-3)^2
=(x^2-3)^2
5.(b)由此，因式分解x^4-6x^2+9-4x^2
=[(x^2-3)+(3-2x)]^2//
---------------------------------------------------------------------------------------
6.因式分解x^6-1
設x^3=y
=y^2-1
=(y-1)(y+1)
=(x^3-1)(x^3+1)
=(x-1)(x^2+2x+1)(x+1)(x^2-2x+1)//
---------------------------------------------------------------------------------------
7.(a)因式分解x^4+x^2+1。(提示:與x^4+2x^2+1比較。)
=(x^2+1)^2-x^2
=[(x^2+1)-x][(x^2+1)+x]//
(b)行用意a)的結果，因式分解(x+1)^4+(x+1)^2+1。
設x+1=y
=y^4+y^2+1
=(y^2+1-y)(y^2+1+y)
=[(x+1)^2+1-(x+1)][(x+1)^2+1+(x+1)]
=[(x+1)^2-x][(x+1)^2+x+2]
=(x^2+2x+1-x)(x^2+2x+1+x+2)
=(x^2+x+1)(x^2+3x+3)//