求瑕積分之值(二)

讓我今晚試試,謝謝doraemonpaul這麼多的提示意見!

2009-08-30 20:44:19 補充：
(A)∫[0~∞] (sinx)^(2n)/x² dx= n∫[0~∞] (sinx)^(2n-2)*sin(2x)/x dx
(B) 2∫[0~π/2] (sinx)^(2a-1)*(cosx)^(2b-1) dx=Beta(a, b) , for a, b>0
Beta(a, b)=Gamma(a)Gamma(b)/Gamma(a+b)
Gamma(1/2)=√π, Gamma(n)=(n-1)!
(C)∫[0~∞] sin(nx)/x dx = ∫[0~∞] sinx/x dx =π/2 , for n>0
(D)∫[0~∞] cos(2nx)*sin(2x)dx=0 , for n>1
(E) Fourier expansion for (sinx)^(2n-2)
Let (sinx)^(2n-2)=a0+a1cos(2x)+a2cos(4x)+... (Finite terms and P=π)
a0=1/(2π)∫[-π~π] (sinx)^(2n-2) dx
= 1/π*2∫[0~π/2] (sinx)^(2n-2) dx (Even function)
= 1/π*Beta(n- 1/2, 1/2)= (2n-2)!/[2^(n-1)*(n-1)!]² (By (B) )
a1=1/π *∫[-π~π] (sinx)^(2n-2)*cos(2x) dx
= 2/π * 2∫[0~π/2] [(sinx)^(2n-2)- 2(sinx)^(2n)] dx
= 2/π *[ Beta(n -1/2, 1/2)- 2Beta(n +1/2, 1/2)] (By (B) )
= 2(1-n)/n * a0
(F)∫[0~∞] (sinx)^(2n) / x² dx
= n∫[0~∞] (sinx)^(2n-2)*sin(2x)/x dx (By (A) )
= n∫[0~∞] (a0+a1cos2x)*sin(2x)/x dx (By (D) )
= n∫[0~∞] [a0*sin(2x)+a1*(1/2)sin(4x)]/x dx
= n∫[0~∞] [ a0 sinx + a1*(1/2) sinx]/x dx (By (C) )
= n∫[0~∞] [ a0+ (1-n)/n*a0](sinx)/x dx (By (E) part II)
= a0*π/2= (π/2)*(2n-2)!/[2^(n-1)*(n-1)!]² (By (E) part I)
= 2π*( 2n-2)!/[2^n*(n-1)!]²

Q.E.D.

蒙兄好久不見!
這題目與另題(在香港提問)相關!

2009-08-18 13:24:40 補充：
題目是解香港朋友的提問∫[0~∞] cos(t^3) dt 而聯想的!

2009-08-30 22:52:26 補充：
哇!天助實力果然非凡,繼續加油吧!

如無意外，這題的做法應該與http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009081601564的做法差不多，都是先把sin的次方消除。如果不想好像linch在http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009081601564中逐步來，可以在http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Power-reduction_formulas中找公式直接略去這個步驟。

2009-08-29 04:52:54 補充：
不過，由於今次sin的次方是雙數，所以今次把sin的次方消除就會多了常數項，配上分母的x²就會得出一個integral是與1/x²有關，而另一個integral是與(cos ax)/x²有關。

2009-08-29 05:03:22 補充：
亦由於上述原因，這題不會與http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009081601564般順利。因為眾所周知，配上upper limit與lower limit分別是∞與0，與1/x²有關的integral會divergent，而與(cos ax)/x²有關的integral亦都會divergent。

2009-08-29 05:10:24 補充：
但事實上，這題的最終答案顯然是convergent，即是說，與1/x²有關的integral方面會派出divergent的項，而與(cos ax)/x²有關的integral方面亦都會派出divergent的項，從而令兩者剛好互相完全抵消，得出convergent的結果。

2009-08-29 05:19:50 補充：
但別忘記，由於今次與(cos ax)/x²有關的integral是有Σ的成分但與1/x²有關的integral沒有，所以有些divergent的項會有Σ的成分而有些卻沒有。如果可以把所有divergent的項剛好互相完全抵消？這是這題最關鍵的地方，亦是最令很多人（包括我）煩惱的地方。

2009-08-29 05:29:06 補充：
不過，我在http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html裡面找到一條公式，保證比Apostol powerful很多倍，那是第37條公式。

相信這題已經發問多時，如果我真的想不到詳細做法的話，我會直接使用該公式，總好過浪費這條非常好的問題吧！

我知道 Apostol 在 1980 年寫過一篇文章得出 ∫[0~∞] (sinx)^(2n) / x^(2n) dx 之值﹐不過我不想查原文了﹐因為查了都不知對此條是否有幫助。

2009-08-18 18:59:45 補充：
我看了Apostol 裡 Exercise 10.15(a)﹐裡面給了式子的﹐所以可以用MI証。

找了老半天香港那題有出現在 Apostol 裡 Exercise 10.15(a)

這一題應該可以用那題的方法加上∫sin^2 x / x^2 dx 來做

兩題答案應該一樣

糟糕!! 好久沒唸高微了~~ 都忘光了~~

大師您這些題目都打哪來的啊!!

這題我猜應該應該是要作變數變換

再用特殊的函數去處理