圓內接四邊形的題目

註:度字省略
Q1:
∠C=90 =>∠A=90 =>BD=√2 * a, ∠BDA=∠ADB=45
∠BDC=105-45=60 , ∠DBC=30
=>BC=√2 a*√3 /2 = √6 a/2, CD= √2 a/2
Q2:
外接圓直徑= AC/ sinD= 20√2 = BD/sinC=> BD=10√6
Q3:以面積求之, 設AD=x
2△ABC=2△ACD+2△ABD
=>√2 sin105=xsin15+√2 x
=> √2 (√6+√2)/4 = x(√6-√2)/4 + √2 x
=> 2(√3 + 1)=x(√6+ 3√2)=√6(1+√3)x
=> x= 2/√6

2009-08-08 22:02:21 補充：
Q1:
AC可由三角形ACD用cos定理求得, AC=(√3 +1)a/2
或定理: AC*BD=AD*BC+AB*CD => AC=(√3+ 1)a/2

2009-08-09 12:30:42 補充：
Q3:∠DAB=60,以面積求之, 設AD=x
△ABC=△ACD+△ABD
(乘以8)=>4√2 sin105=4xsin45+4√2 xsin60
=> √2 (√6+√2)= (2√2+2√6)x =>AD=x= √2 /2

第三題答案是 2/√6 = √6/3 沒錯，版大答案錯了


托勒密(Ptolemy)定理 : AC*BD=AD*BC+AB*CD

四邊形的兩對邊的乘積之合等於它的對角線乘積的
充份必要條件是該四邊形內接於一圓

費瑪，答案對了!!算法能講一下媽??

2009-08-09 00:03:57 補充：
第三題!!請各位大大給個算法八 感恩

2009-08-09 10:58:50 補充：
抱歉各位大大:

第三提的,

1. (√3+1)a/2

2009-08-08 21:58:35 補充：
以下圖略、”度”略。
1.
因ABCD共圓，故∠A=180-90=90，∠B=180-105=75
=> BD=√2a，∠ABD=45 (因ΔABD為等腰直角Δ)
=> ∠CBD=75-45=30
=> CD= BDsin30=(√2)a/2
=> AC^2=a^2+[(√2)a/2]^2-2a[(√2)a/2]cos105 (在ΔACD中，利用餘弦定理)
=[3/2+√2*(√6-√2)/4]a^2
= [(2+√3)/2]a^2
=> AC=[√(4+2√3)]a/2=(√3+1)a/2

2009-08-09 00:01:17 補充：
3. 答案(√6)/3沒錯！
AC*BD=AD*BC+AB*CD為托勒密(Ptolemy)定理，
使用時機為ABCD為圓內接四邊形時成立。(事實上這是充要條件！)
可見
http://tw.myblog.yahoo.com/ythung-1972/article?mid=143&l=f&fid=14
它的證明很精彩(還沒時間放上去)，方法也有很多種。

2009-08-09 00:38:49 補充：
先用餘弦定理算出BC=(√6+√2)/2
再用正弦定理，1/sinB=[(√6+√2)/2]/sin105=2
得sinB=1/2，B=30度
=> AD=(√2)tan30=(√2)*(√3)/3=(√6)/3