圓內接四邊形的題目

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2009-08-08 8:04 pm

1.圓內接四邊形ABCD,AB=AD= a ,<C=90, <D=105,則AC=?
2.設四邊形ABCD內接一圓,<ABC=45,<BAD=120,又AC=20,求BD?
3三角形ABC中 <A=105,AB=根號2,AC=1,D在BC上,<DAB=90則AD?

更新1:

大大: 第一題是問AC 麻煩囉

更新2:

第三提的答案為√2/2麻煩大大檢查一夏

更新3:

定理: AC*BD=AD*BC+AB*CD 適用的時機為合?

更新4:

第三提的算法看不太懂!!能清楚點媽?(打詳細)感恩

更新5:

q3. 菩提大的Sin15是怎來的?? =>√2 sin105=xsin15+√2 x

更新6:

抱歉各位大大: 第三提的,

更新7:

第三提的,

更新8:

更新9:

網路怪怪的= =

更新10:

第三提的

更新11:

DAB=60，才對

更新12:

感謝菩提，費瑪，'相約所以一同參予問題的人

回答 (4)

mathmanliu

2009-08-09 5:09 am

✔ 最佳答案

註:度字省略
Q1:
∠C=90 =>∠A=90 =>BD=√2 * a, ∠BDA=∠ADB=45
∠BDC=105-45=60 , ∠DBC=30
=>BC=√2 a*√3 /2 = √6 a/2, CD= √2 a/2
Q2:
外接圓直徑= AC/ sinD= 20√2 = BD/sinC=> BD=10√6
Q3:以面積求之, 設AD=x
2△ABC=2△ACD+2△ABD
=>√2 sin105=xsin15+√2 x
=> √2 (√6+√2)/4 = x(√6-√2)/4 + √2 x
=> 2(√3 + 1)=x(√6+ 3√2)=√6(1+√3)x
=> x= 2/√6

2009-08-08 22:02:21 補充：
Q1:
AC可由三角形ACD用cos定理求得, AC=(√3 +1)a/2
或定理: AC*BD=AD*BC+AB*CD => AC=(√3+ 1)a/2

2009-08-09 12:30:42 補充：
Q3:∠DAB=60,以面積求之, 設AD=x
△ABC=△ACD+△ABD
(乘以8)=>4√2 sin105=4xsin45+4√2 xsin60
=> √2 (√6+√2)= (2√2+2√6)x =>AD=x= √2 /2

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相約到永久

2009-08-09 7:56 am

第三題答案是 2/√6 = √6/3 沒錯，版大答案錯了

托勒密(Ptolemy)定理 : AC*BD=AD*BC+AB*CD

四邊形的兩對邊的乘積之合等於它的對角線乘積的
充份必要條件是該四邊形內接於一圓

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[匿名]

2009-08-09 5:54 am

費瑪，答案對了!!算法能講一下媽??

2009-08-09 00:03:57 補充：
第三題!!請各位大大給個算法八感恩

2009-08-09 10:58:50 補充：
抱歉各位大大:

第三提的,

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[匿名]

2009-08-09 5:53 am

1. (√3+1)a/2

2009-08-08 21:58:35 補充：
以下圖略、”度”略。
1.
因ABCD共圓，故∠A=180-90=90，∠B=180-105=75
=> BD=√2a，∠ABD=45 (因ΔABD為等腰直角Δ)
=> ∠CBD=75-45=30
=> CD= BDsin30=(√2)a/2
=> AC^2=a^2+[(√2)a/2]^2-2a[(√2)a/2]cos105 (在ΔACD中，利用餘弦定理)
=[3/2+√2*(√6-√2)/4]a^2
= [(2+√3)/2]a^2
=> AC=[√(4+2√3)]a/2=(√3+1)a/2

2009-08-09 00:01:17 補充：
3. 答案(√6)/3沒錯！
AC*BD=AD*BC+AB*CD為托勒密(Ptolemy)定理，
使用時機為ABCD為圓內接四邊形時成立。(事實上這是充要條件！)
可見
http://tw.myblog.yahoo.com/ythung-1972/article?mid=143&l=f&fid=14
它的證明很精彩(還沒時間放上去)，方法也有很多種。

2009-08-09 00:38:49 補充：
先用餘弦定理算出BC=(√6+√2)/2
再用正弦定理，1/sinB=[(√6+√2)/2]/sin105=2
得sinB=1/2，B=30度
=> AD=(√2)tan30=(√2)*(√3)/3=(√6)/3

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收錄日期: 2021-05-01 17:17:02
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090808000010KK03444

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