畢氏定理是甚麼?!

畢達哥拉斯『a2 + b2 = c2』這就是希臘學者畢達哥拉斯(Pythagoras)最著名的發現：『畢氏定理』(Pythagoras' Theorem，即『商高定理』、『勾股定理』)。本定理說明了直角三角形三邊的關係：『斜邊的平方等於另外兩邊的平方之和。』由於證明『畢氏定理』的方法太多，本人祇舉我國在三國時期的兩個例子，以茲參考。



趙爽，三國時期吳國數學家，為《周髀算經》作注。他在《周髀算經注》中，注釋了『勾股定理』。他寫了一篇『勾股圓方圖說』，並附上『弦圖』乙幅〔見圖〕，對『勾股定理』作出了證明：

『弦圖』 以弦為邊作一正方形，其面積名為『弦實』。在那正方形內作四個直角三角形，塗以朱紅色，其面積名為『朱實』。中央的小正方形，塗以黃色，其面積稱為『黃實』。而小正方形的邊長等於股、勾之差。但『弦實』等於四個『朱實』及『黃實』之和。於是便得出：

弦2 = 4．[0.5(勾．股)] + (股－勾)2

弦2 = 2(勾．股) + 股2 － 2(勾．股) + 勾2

弦2 = 勾2 + 股2



劉徽，三國時期魏國人，家住今臨淄一帶。他在魏景元四年編寫《九章算術注》。他提出了『出入相補原理』－－把圖形分割若干塊後，各塊面積和等於原圖面積。他利用『出入相補原理』，成功地證明了『勾股定理』。

勾股定理 這個證明十分顯淺易懂，因為整個證明只需要一幅圖〔見圖〕，及加上少許說明，甚至連說明也不用，即可明瞭。本人亦在此加上少許說明：

圖中較深色的部分為『出』，較淺色的則是『入』。從圖中可見，深綠色的是一個正方形，以『股』為邊；深紅色的也是一個正方形，以『勾』為邊。經過分合之後，得出一個以『弦』為邊的大正方形。即是：

『股』正方面積 +『勾』正方面積 =『弦』正方面積，即是，

股2 + 勾2 = 弦2

『勾股定理』由此得證。



此外，有一位法國數學家皮埃爾．德．費爾瑪(Pierre de Fermat, 1601-1665)提出了著名的『費爾瑪最後定理』(Fermat's Last Theorem)，並聲稱已解決了它。該定理是建基於『畢氏定理』的：

『不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高於二次的冪寫成兩個同樣次冪之和。』 (Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadeatos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nomins fas est dividere.)

以方程式表達，就是：xn + yn = zn, n>2 沒有整數解。這個猜想是否對的呢？大家可試試看。

畢氏定理是否a2+b2=c2?