inequality

我明明答過的﹐當時還請教過maximal ideal space﹐不過現在search不到﹐幸好還記得方法。
考慮x/√(9x^2+1)﹐這是concave function﹐所以令 f(x)=-x/√(9x^2+1)﹐則根據 Jensen's inequality E[f(x)]>=f[E(x)]
(1/3)[-x/√(9x^2+1)+ -y/√(9y^2+1)+ -z/√(9z^2+1)]>=-[(x+y+z)/3]/√(9[(x+y+z)/3]^2+1)
x/√(9x^2+1)+ y/√(9y^2+1)+ z/√(9z^2+1)<=(x+y+z)/√((x+y+z)^2+1)
但(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2+2,故
x/√(9x^2+1)+ y/√(9y^2+1)+ z/√(9z^2+1)<=(x+y+z)/√(x^2+y^2+z^2+3)
因 x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx (考慮 (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 或者用Bienaym–Chebyshev inequality)
因此
x/√(9x^2+1)+ y/√(9y^2+1)+ z/√(9z^2+1)<=(x+y+z)/√4
x/√(9x^2+1)+ y/√(9y^2+1)+ z/√(9z^2+1)<=(x+y+z)/2

這題在yahoo知識上出現過，你試試search 看吧！