四次方程的判別式（challenging）

因為 a、b、c、d、e 均是實數 (考慮 a 不為 0)，先依下列步驟考慮：
[1] ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 --> x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0
因為 A、B、C、D 也是實數，所以複根必成對，故必可分解為
( x2 + mx + n )( x2 + sx + t ) = 0 --> 判別式 D1 = m2 - 4n、D2 = s2 - 4t
由二次方程式可知判別式 D < 0 <--> 二共軛複根：
(A) D1*D2 < 0 <--> 二實根二複根
(B) D1*D2 = 0 <--> 至少二相同實根
(C) D1*D2 > 0 <--> 四實根或四複根
這裡要注意 (m,n) 與 (s,t) 是可以對調的，所以要把D1、D2在分離，應該是非常困難的。
[2] x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 --> x4 + px2 + qx + r = 0
其中
(1) p = ( -3A2 + 89 ) / 8
(2) q = ( A3 - 4AB + 8C ) / 8
(3) r = ( -3A4 + 16A2B - 64AC + 256C ) / 256
則 D = D1 * D2 = 4( p2 + 12r )3 - ( 2p 3 - 72pr + 27q2 )2
參考文章：
(1) http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d63/6317.pdf
(2) http://study.ck.tp.edu.tw/teafiles/wfj/%A5%7C%A6%B8%A4%E8%B5%7B%A6%A1%A8D%B8%D1.pdf
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1. 可考慮 f(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 即可
2. 可用相對極值與圖形來討論

此題麻煩的應該是求臨界點的函數是三次式並沒有簡單的公式解

2009-08-05 21:48:39 補充：
就是因為三次方程的公式解不簡單(事實上很複雜)
所以要找出判別式不是那麼簡單的

這條問題問到第N次了~何不邀請數學勁人如maximum_ideal_space, Ivan , 或者菩堤大師呢??

2009-08-05 20:04:03 補充：
linch不如你答丫