虛數與組合各一題20點

(1)
請畫出一個複數平面
殷為|Z1|=|Z1+Z2|=3
以原點O為原心畫一個半徑3單位的圓
在圓上任找一點標為Z1，令這點為a點
圓上另找一點標為Z1+Z2，令這點為B點

則OA=OB=3
加減一個Z2就好像加減一個向量般

所以Z1, Z1+Z2, Z1-Z2三點共線
從A出發，與AB向量反方向
且與AB等距離標示出Z1-Z2，令這點為C點
又因為|Z1-Z2|=3√3，OC=3√3
且AB=AC=|Z2|，假設|Z2|=x
發現A為BC中點，OA為△ABC之中線
利用中線定理，OB^2+OC^2=2(OA^2+AB^2)
則(3√3)^2+3^2=2(3^2+x^2)，解得x=3
從圖上看來，△OAB為正三角形
則∠AOB=60度
且|Z2|=x=3
則從O出發，往AB向量方向延伸
與圓交於Z2，令該點為D
則∠AOD=120度
若Z1的主幅角為θ，則Z2主幅角θ+120度
則Z1/Z2
=3(cosθ+isinθ)/3(cosθ+120度+isinθ+120度)
=cos-120度+isin-120度
=cos240度+isin240度
=(-1-√3i)/2
所以最後結果為(-1-√3i)/2

(2)
分步驟來做
1.決定甲乙丙會被分到哪三班
組合數4*3*2=24種
2.輪到剩下五人被分班
先假設甲乙丙分別在忠孝仁班
則忠孝仁班只能再收3人
但是信班可收4人
先讓5人自由選擇班級，組合數4^5=1024種
但是要扣除幾種不合情況
首先是5人都選同班，共4種
接著是4人同班
先挑出一個不同班的，C5取1
同班者可能在忠孝仁任一班
多的那個就從剩三班任選
故這種不合情形組合數
(C5取1)*3*3=45種
故不合情形共4+45=49種
五人選班共1024-49=975種組合
所以題目所求組合數共
24*975=23400種
故最後組合數23400種
希望以上有幫到您!

2009-08-05 22:01:13 補充：
抱歉，自己畫的圖不是很標準

以上第一題只有半邊解

因為題目中未說明Z1與Z1+Z2主幅角大小關係

所以也有可能Z1+Z2比Z1少了120度

就變成您說的

Z2主幅角可能為θ-120度

以這組數字代入

可得另一解(-1+√3i)/2

在下的疏失，真抱歉！

2009-08-06 21:17:35 補充：
奇怪，明明就有打補充回答

之後再來瀏覽題目卻時有看到時又沒有

總之小兔子大的意見是對的

答案應為(-1+-√3i)/2

2009-08-07 09:32:06 補充：
真的消失了...F5似乎沒有用 T0T

該次補充如下：

抱歉，畫圖不標準，少了某些東西

因為題目並未說明Z1, Z1+Z2主幅角大小關係

所以可能Z1+Z2的主幅角為θ-60度

則Z2主幅角θ-120度

代入得第二解(-1+√3i)/2

個人疏失，真是歹勢~~

第一題的確是問Z1/Z2，而不是其絕對值
應只有一個答案吧
第二題班級可以沒人轉入

2009-08-05 16:07:05 補充：
Z2主幅角還有θ-120度吧！

第一題是問Z1/Z2的絕對值吧，不然答案多了點

2009-08-03 21:39:37 補充：
(1)Z1/Z2的絕對值=1

(2)8人轉入4班，允許有班級沒人轉人嗎?