1-1整數(數論)3題請問

1.
(mod 11) x^2同餘1 => x同餘1 或 x同餘-1
=> 可假設 x=11k+1或x=11k-1，k為正整數

(1)若 x=11k+1時：
100 <= 11k+1 <=999
=> 99 <= 11k <= 998
=> 9 <= k <= 90.…
=> k=9,10,...,90 共有90-8=82個

(2)若 x=11k-1時：
100 <= 11k-1 <=999
=> 101 <= 11k <= 1000
=> 9.… <= k <= 90.…
=> k=10,11,...,90 共有90-9=81個

∴Ans: 82+81=163個


2.
因為餘數相同，所以這三個數，任兩個相減都會是x的倍數
=> x是 425-215=210, 719-425=294, 719-215=504 的公因數
=> x是210, 294, 504的最大公因數的因數

又(210,294,504)=2*3*7=42
∴x= 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42


3.
=> 66整除x^3 - x = x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)，且0 < x < 66

因為66=2*3*11，
而 (x-1)*x*(x+1)是三連續正整數相乘，必為2的倍數和3的倍數
所以若要使 2*3*11 整除 (x-1)*x*(x+1)，只需考慮x-1, x, x+1中是否有11的倍數即可：
(1) x-1是11的倍數：x-1=0,11,22,33,44,55
=> x=1, 12, 23, 34, 45, 56 共6個

(2) x是11的倍數：x=11,22,33,44,55 共5個

(3) x+1是11的倍數：x+1=11,22,33,44,55,66
=> x=10, 21, 32, 43, 54, 65 共6個

∴Ans: 6+5+6=17個