數學公式 ( 急 詳細說明 )

設扇形的圓心角為 θ，半徑為 r，弧長為 s。

扇形的面積 = 圓面積 x (θ/360°)
A = πr²(θ/360°) …… (1)

扇形的弧長 = 圓周 x (θ/360°)：
s = 2πr(θ/360°)
θ/360° = s/(2πr) …… (2)

把 (2) 代入 (1)：
A =πr²[s/(2πr)]
A = (1/2)rs

先解釋ㄧ下【單位】的定義，舉一個例子：
小明的身高是 170 公分，若【規定 1 公尺＝100公分】，那小明的身高適多少公分呢？
這時【長度單位】已經改變，所以 170 公分相當於 1.7 公尺，我們的回答就變成了【小明的身高是 1.7 公尺】。
這是一個非常清楚的關鍵，所有需測量的數值，其答案與【測量單位】是有關係的。
回到正題，最早是因為【巴比倫人】研究天文的緣故，發現將ㄧ個圓 (繞一圈) 定義為 【360】是比較方便計算的。(其原由就不詳細說明)
但是後來在【現今科學】上研究【圓周】的時候，發現當半徑是 R，存在一個常數【π＝3.1415926535.....】(現稱為【圓周率】)使得：
(1)【圓周長＝2πR】(2)【圓面積＝πR2】
(3)【扇形】與【圓】的弧長比與面積比之關係為【扇形夾角占整個圓的比例】
所以發現【角度】與【周長、面積】是有關聯的。
在國小以前，比較常使用 360，是因為對 π 比較難理解，所以都使用 3.14 來表示圓周率，但是在科學使用上比較不方便。(牽涉三角函數等問題，不詳細說明)
舉個例來說：
半徑為 1，角度為 90 的扇形面積： π*12*( 90 / 360)＝ π/4 ＝0.78539.....
這樣不是【小數點】寫不完嗎？
所以我們重新定義ㄧ下【角度單位】，因為半徑為 R 的圓周長為 2πR，所們就方便而言，規定：
一個圓 (繞一圈) 的角度是 【2π 弳】( 注意角的單位是【弳】)
這樣的話，角度對應周長、面積就是【角度是 2π 弳 -->圓周長 2πR、面積 πR2】，
此時扇形角度也使用【弳度制】的話，加上【比例性質】，就得到：
扇形角度 ＝ θ 弳 --> 扇形弧長 ＝ 2πR*( θ / 2π ) ＝ R * θ
扇形角度 ＝ θ 弳 --> 扇形面積 ＝ π R2*( θ / 2π ) ＝ R2 * θ / 2
再假設【S ＝扇形弧長 Rθ --> θ ＝ S / R】就得到
扇形面積 ＝ R2 * θ / 2 ＝ R2 * (S / R) / 2 ＝S*R / 2
這樣公式是不是讓【π】都不見了，看起來比較簡潔。

2009-07-29 20:00:24 補充：
你的原始公式要稍微改ㄧ下：

扇形面積原始公式：拍 * r*2 * 度 / 360 ---- ( X )

扇形面積原始公式：拍 * r^2 * 度 / 360 ---- ( O )

r 的部份是平方【r^2】 ，不是 2 倍【r*2】

2009-07-29 20:07:11 補充：
在使用上，【弳度制】是不需要寫出單位的，也就是說：

【角度是 1 弳】時，我們通常說【角度是 1】，把【弳】省略，看起來就像是【沒有單位】的單位。

所以要記得一個圓 (繞一圈) 是 【360°】也可以說是 【2π】。

(1) 把 π 當成角度時【 2π (弳) ＝ 360° ---> π (弳) ＝ 180° 】
(2) 把 π 當成數字時【 π ＝ 3.1415926535..... 】是表示圓周率

2009-07-29 20:08:49 補充：
因為亂碼的關係，上面的角度 360、90 都少了【°】，請補上。

☆扇形公式：
已知扇形的圓心角=θ弳，扇形所在圓的半徑= r 單位長，則：
(1) 扇形弧長L=θr 單位長
(2) 扇形面積A=(1/2)*(r^2)*θ 平方單位長
特別地，將公式(2)中的 r*θ，利用公式(1)代換，可得A=(1/2)*r*L 平方單位長

[說明]
此公式，與角的度量單位『弳』的定義有關：
當一扇形的弧長=半徑 r 時，我們規定，此扇形的圓心角= 1弳。

(1)現在先考慮 圓心角=θ弳的扇形C，和定義中提到的 圓心角=1弳的扇形C1的弧長關係：
C的弧長：C1的弧長 = C的圓心角：C1的圓心角
=> L：r = θ弳：1弳
=> L / r = θ/ 1
=> L = θr

(2)再來考慮 圓心角=θ弳的扇形C，和圓的面積的關係：
C的面積：圓的面積 = C的圓心角：圓的圓心角
=> A：(πr^2) = θ弳：2π弳(註1)
=> A / (πr^2) = θ/ (2π)
=> A = (1/2)*(r^2)*θ

(註1)：
『圓的圓心角=周角=2π弳』的由來：

考慮 圓心角=1弳 的扇形C1，並與圓作比較：
C1的弧長：圓的弧長 = C1的圓心角：圓的圓心角
=> r：(直徑*π) = 1弳：(周角)　　→圓周長的公式，是根據π的定義得到
=> r / (2πr) = 1 / (周角)
=> (周角) = 2π弳
=> L = θr


2009-07-29 15:31:54 補充：
[國中的作法]：
將 圓心角=θ度，弧長=L的扇形 與 圓形 作比較：

圖形　圓心角　弧長　　　面積
扇形　　θ度　　Ｌ　　　Ａ
圓　　 360度　 2πr　　　π*r^2
　　　　　　　(圓周長)　(圓面積)

θ/360 = L/(2πr)，θ/360 = A/(π*r^2)
=> L/(2πr) = A/(π*r^2)
交叉相乘=> L*(π*r^2) = A*(2πr)
=> L*r = A*2
=> A=(1/2)*r*L

P.S.：建議弧長不要用s，會與海龍公式使用的符號重複

扇形面積公式： (r^2) * 拍 * (度 / 360度)
扇形弧長公式(不包含半徑)： 2 * 拍 * r * (度 / 360度)

須知 360 度 = 2拍 (弳度)
故扇形弧長公式 2 * 拍 * r * (度 / 360度)
= 2 * 拍 * r * (弳度 / 2拍) = r * 弳度
定義 r * 弳度 = s

則扇形面積公式 (r^2) * 拍 * (度 / 360度)
= (r^2) * 拍 * (弳度 / 2拍)
= (1 / 2) * (r^2) * 弳度
= (1 / 2) * r * r * 弳度
= (1 / 2) * r * s