Challenging family of circles

對於兩個圓形x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0和x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0來說，它們總會有不相交的時候，這時x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0照理上仍然是代表family of circles and a straight line，但這個family of circles and a straight line中的circles和straight line會有甚麼規律？請詳細用數學的角度去解釋
C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 圓心為(-D1/2 , -E1/2) = (X1, Y1)
C2 : x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0 圓心為(-D2/2 , -E2/2) = (X2, Y2)
Family of circles : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0
考慮任意兩個不同members其k值為k1及k2,即
C3 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k1(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 ... (1)
C4 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k2(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 ... (2)
假設兩圓互交,交點由(1)及(2)求得如下:
(2)- (1) => (k2-k1)(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0
因k1及k2為不同值,即 x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0
代入(1) => x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0
即交點同時在C1及C2上,這和C1,C2不相交矛盾,因此C3和C4不相交.因k1及k2為隨意值,所以這個family of circles全不相交.
x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0
(1+k)x2 + (1+k)y2 + (D1+kD2)x + (E1+kE2)y + F1 + F2 = 0
圓心為[-(D1+kD2)/(2+2k), (E1+kE2) /(2+2k) ]
x 坐標為 -(D1/2 + kD2/2)/(1+k) = (X1 + kX2)/(1+k)
y 坐標為 -(E1/2 + kE2/2)/(1+k) = (Y1 + kY2)/(1+k)
可見每個圓心都和(X1,Y1)及(X2,Y2)同一直線.
當k = -1, x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + k(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0變為
(D1 – D2)x + (E1 – E2)y + (F1 – F2) = 0
為一直線,其斜率為 m1 = -(D1 - D2)/(E1 – E2)
連起C1及C2圓心直線的斜率為
m2 = [(-E1/2) - (-E2/2)]/[(-D1/2) - (-D2/2)] = (E1 - E2)/(D1 – D2)
m1m2 = -1 兩線為垂直.