圓內/外點 - Ans.fyi 參考答案

圓內/外點

魏王將張遼

2009-07-27 2:07 am

平面上有 2n + 3 個點, 其中 n 為正整數. 當中無任何三點為共線, 亦無任何四點共圓.
證明總可通過某三點作一圓, 使其餘的 2n 個點有一半在圓內, 另一半在圓外.

回答 (2)

myisland8132

2009-07-27 3:40 am

✔ 最佳答案

1 在2n+3個點中一定可以找到A,B兩點，使得其餘2n+1個點都與直線AB在同一側。
2 因為任四個點不共圓，所以對其餘(2n+1)個點張開的角必然各不相同，將這2n+1個角的頂點按角的大小排列：令AP1B<AP2B<….<APn+1B<…<AP2nB<AP2n+1B
過A,B,Pn三點作一個圓，因為P1,P2,…,Pn對於的張角小於APn+1B 所以P1,P2,…,Pn必在圓外。
因為Pn+2,Pn+3,…,P2n+1對於的張角大於APn+1B，所以Pn+2,Pn+3,…,P2n+1必在圓內。故圓外、圓內各有n個點。

2009-07-26 19:42:00 補充：
這是YAHOO第一條組合幾何的題目耶

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doraemonpaul

2009-08-04 8:37 am

myisland8132，你沒有證明總可通過某三點作一圓！

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