MATHS (多項式)

[匿名]

2009-07-24 11:19 pm

5. 已知 f(x) = ax^2 + bx + c ,其中 a , b , c 為常數
(a)若 f(x) 除以 (x-1) 時餘數為 0 ,除以 (x-2) 時餘數為 9 , 除以 (x-3)時餘數為 22 , 求 a , b , c 的值
(b) 由此,解方程 f(x) = 0
6. 已知多項式 f(x) = x^2 - ax - 3b 及 g(x) = x^2 + 7ax + 5b皆可被 (x+2) 整除
(a) 求 a , b 的值
(b) 求 f(x) 及 g(x) 的 L.C.M.
7. 已知 g(x) = x^2 + 7x - 2
(a) 求多項式 f(x) ,使其除以 (x+3) 時 , 商為 g(x) 及餘數為 5
(b) 試找出 g(x) 除以 (x+3) 時的商和餘數
(c) 利用 (a) ,(b) 的結果 , 把 f(x) 表達成 (x+3)^3 + A(x+3)^2 + B(x+3) + C 的形式 , 其中 A , B , C 為常數

回答 (1)

Prof. Physics

2009-07-25 12:14 am

✔ 最佳答案

5.a. f(x) = ax2 + bx + c

根據餘式定理，f(1) = 0，f(2) = 9，f(3) = 22

所以，a(1) + b(1) + c = 0，a + b + c = 0 ... (1)

a(2)2 + b(2) + c = 9，4a + 2b + c = 9 ... (2)

a(3)2 + b(3) + c = 22，9a + 3b + c = 22 ... (3)

解(1)、(2)及(3)，得a = 2，b = 3，c = -5

b. f(x) = 2x2 + 3x - 5 = 0

(2x + 5)(x - 1) = 0

x = -5/2 或 1

6.a. 根據因式定理，f(-2) = 0，g(-2) = 0

所以，(-2)2 - a(-2) - 3b = 0，4 + 2a - 3b = 0

(-2)2 + 7a(-2) + 5b = 0，-14a + 5b + 4 = 0

解得，a = 1，b = 2

b. f(x) = x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)，g(x) = x2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)

所以，f(x)及g(x)的L.C.M. = (x - 3)(x + 2)(x + 5)

7.a. f(x) = (x + 3)(x2 + 7x - 2) + 5

= x3 + 10x2 + 19x - 1

b. 用長除法，解得g(x) = x2 + 7x - 2 = (x + 3)(x + 4) - 14

所以，商 = x + 4，餘數 = -14

c. g(x) = (x + 3)(x + 4) - 14 = (x + 3)[(x + 3) + 1] - 14 = (x + 3)2 + (x + 3) - 14

所以，f(x) = (x + 3)g(x) + 5

= (x + 3)[(x + 3)2 + (x + 3) - 14] + 5

= (x + 3)3 + (x + 3)2 - 14(x + 3) + 5

參考: Physics king

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