✔ 最佳答案
Q1
假設原先走路時速v(km/hr)，所費時間t(hr)
則總路程可表示成v*t
根據題意
以v+0.5(km/hr)走路，只需4t/5(hr)即到達
一樣走了v*t
可列式v*t=(v+0.5)*(4t/5)...(1)
以v-0.5(km/hr)走路，需t+2.5(hr)才到達
一樣也走了v*t
可列式v*t=(v-0.5)*(t+2.5)...(1)...(2)
將(1)兩邊同除以t
v=0.8v+0.4
0.2v=0.4
v=2(km/hr)
以此結果代入(2)
2*t=(2-0.5)*(t+2.5)
2t=1.5t+3.75
0.5t=3.75
t=7.5(hr)
則這段路v*t=2*7.5=15(km)
為免寫分數造成混亂，所以在下用小數表示
A:15(km)
Q2
兩人走的是相同的路程
所以速率與所花時間反比
敏敏速率：靜靜速率=1/3:1/4=4:3
假設敏敏速率為4r(km/hr)，靜靜速率為3r(km/hr)
則A到B共4r*3=12r(km)
靜靜早半小時出發
則當敏敏出發時靜靜已經走了(1/2)*3r=3r/2(km)
若敏敏出發後t小時，達到題目要求
則敏敏剩餘路程12r-4r*t(km)
靜靜剩餘路程12r-(3r/2)-3r*t(km)
按照題目意思
靜靜剩餘路程/敏敏剩餘路程=3
[12r-(3r/2)-3rt]/(12r-4rt)=3
將r約掉
[12-(3/2)-3t]/(12-4t)=3
左右把約掉
[4-(1/2)-t]/(12-4t)=1
則4-(1/2)-t=12-4t
3.5-t=12-4t
3t=12-3.5=8.5
t=8.5/3=17/6(hr)
故答案選擇(A)
Q3
按照題目，a1+a4+a7+...+a46=60
而且a4=a1+3*(4-1)=a1+9，a7=a4+3*(7-4)=a4+9，
a10=a7+(3*(10-7)=a7+9...持續下去
則a1, a4, a7, a10, ..., a46可以看做一個新的等差數列
他們的公差為9
現在假設另一個數列<bn>
令b1=a1, b2=a4, b3=a7, ..., bn=a(3n-2)
假設<bn>總共n項
已知最後一項bn=a46
比對下標得3n-2=46, n=16
而且bn=b16=b1+(16-1)*9=b1+135
又a1+a4+a7+...+a46=b1+b2+b3+...+b16=60
根據等差級數求和公式
總和=(b1+bn)*n/2=(b1+9(b1+b1+135)*16/2=60
(2b1+135)*8=60
又a1=b1，則(2a1+135)*8=60
假設所求a5+a6+a9+a10+...+a49+a50=S
兩項兩項一組
也就是(a5+a6)+(a9+a10)+...+(a49+a50)=S
再假設一個新的數列<cn>
讓c1=a5+a6, c2=a9+a10, ..., cn=a(4n+1)+a(4n+2)
假設<cn>有m項
則末項cm=a(4m+1)+a(4m+2)=a49+a50
比對下標得4m+1=49, m=12
因為<an>是等差數列
a5=a1+(5-1)*3=a1+12, a6=a1+(6-1)*3=a1+15
c1=a5+a6=(a1+12)+(a1+15)=2a1+27
a49=a1+(49-1)*3=a1+144, a50=a1+(50-1)*3=a1+147
c12=a49+a50=(a1+144)+(a1+147)=2a1+291
再用一次等差級數求和公式
總和S=(c1+cm)*m/2
=[(2a1+27)+(2a1+291)]*12/2
=(4a1+318)*6
利用聯立
{60=(2a1+135)*8...(1)
{S=(4a1+318)*6...(2)
解出S
將(1)整理
60=(2a1+135)*8
15=(2a1+135)*2
15=4a1+270
4a1=15-270=-255
以此結果代入(2)
S=(4a1+318)*6=(-255+318)*6=63*6=378
故解得S=a5+a6+a9+a10+...+a49+a50=378
A:378
2009-07-25 12:43:21 補充：
Q4
為方便計算
假設AF=x, BF=1, AF/BF就等於x
因為I是△ABC的內心
而且AB=AC，△ABC為等腰三角形
所以I在△ABC的高上
因此AD為△ABC的高
又因為I是內心
∠AEF=∠AFE
又△AEF與△ABC共用∠BAC
△AFE相似於△ABC
且∠AFE=∠ABC
又因此EF與BC平行
若△ABC的高與EF交於H
則AH:HD=AF:FB=x:1
根據EF平行BC，∠AHF=∠ADB=90度
AH為△AEF的高，HD為△DEF的高
2009-07-25 12:44:57 補充：
假設△DEF面積為A
△AEF與△DEF共用底EF
則△AEF面積為A*x
前面提到△AFE相似△ABC
而且邊長比例x:(1+x)
故△AEF:△ABC=x^2:(1+x)^2
△ABC=A(1+x)^2/x
因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB
又△ABC為等腰三角形
所以BD=DC
又BF=AB-AF，CE=AC-AE
AB=AC, AF=AE
所以BF=CE
△BDF與△CDE構成SAS全等
則△BDF=△CDE
=(△ABC-△AEF-△DEF)/2
=[(A(x+1)^2/x)-Ax-A]/2
2009-07-25 12:45:15 補充：
題目說△AEF=△BDF+△CDE
則Ax=(A(x+1)^2/x)-Ax-A
約去A
x=(x+1)^2/x -x-1
2x+1=(x+1)^2/x
2x^2+x=(x+1)^2
2x^2+x=x^2+2x+1
x^2-x-1=0
利用公式解
x=(1加減√5)/2 (減不合)
AF/BF=x=(1+√5)/2
故答案選擇(A)
2009-07-25 12:46:28 補充：
Q5
因為AD, BE都是△ABC的高
∠ADB=∠BEA=90度
又因∠BHD與∠AHE為對頂角
∠BHD=∠AHE
則△BHD與△AHE相似
假設BD=x
根據畢氏定理得
AD=√(13^2-x^2)
DC=√(15^2-13^2+x^2)
BC=BD+DC
14=x+√(15^2-13^2+x^2
√(15^2-13^2+x^2)=14-x
15^2-13^2+x^2=x^2-28x+14^2
28x=14^2+13^2-15^2=196+169-225=140
得BD=x=5, AD=√(13^2-x^2)=12
2009-07-25 12:49:19 補充：
假設AE=y
亦根據畢氏定理
BE=√(13^2-y^2)
EC=√(14^2-13^2+y^2)
AC=AE+EC
15=y+√(14^2-13^2+y^2)
√(14^2-13^2+y^2)=15-y
14^2-13^2+y^2=y^2-30y+15^2
30y=15^2-14^2+13^2=225-196+169=198
得AE=y=33/5
假設AH=z, HD=12-z
2009-07-25 12:50:09 補充：
因為△BHD相似△AHE
BH:AH=BD:AE
√(z^2-24z+169):z=5:(33/5)
5z=(33/5)*√(z^2-24z+169)
25z=33√(z^2-24z+169)
25^2z^2=33^2z^2-33^2*24z+33^2*169
(33^2-25^2)z^2-33^2*24z+33^2*169=0
8*58z^2-33^2*24z+33^2*169=0
2009-07-25 12:50:24 補充：
因式分解得
(4z-33)(116z-33*169)=0
z=33/4或33*169/116
因為HD=12-z>0, z<12
而33*169/116>12，故此根不合
AH:HD=z:12-z
=(33/4):[12-(33/4)]
=(33/4):(15/4)
=11:5
故得AH:HD=11:5
A: 11:5
2009-07-25 12:51:01 補充：
Q6
假設CD=x
因為∠AEC與∠ADB都是BC弧的圓周角
∠AEC=∠ADB
又△AEC, △ADB共用∠A
得△AEC相似△ADB
AC:AB=AE:AD
(3/2):1=3:[(3/2)+x]
1*3=(3/2)*[(3/2)+x]
3=(9/4)+(3/2)*x
3/4=(3/2)*x
得CD=x=1/2
2009-07-25 12:51:50 補充：
過D做△ADE的高
交AB於F點
因為∠A=30度
DF=AD/2=[(3/2)+(1/2)]/2=1
△ADE面積(1+2)*1/2=3/2
過C做△ABC的高
交AE於G點
因為∠A=30度
CG=AC/2=(3/2)/2=3/4
△ABC面積=1*(3/4)/2=3/8
2009-07-25 12:52:25 補充：
BCDE面積
=△ADE面積-△ABC面積
=(3/2)-(3/8)
=9/8
故得BCDE面積9/8，答案選擇(A)
希望在下回答能幫到您！
