參數化 微積分

左方應該是√[1 + (dy/dx)2]dx

設x = x(t)，y = y(t)，則x與y有參數t

dy/dx = dy/dt X dt/dx (連鎖法則)

= dy/dt X (1 / (dx/dt))

= (dy/dt) / (dx/dt)

左方 = √[1 + (dy/dx)2] dx

= √[1 + [(dy/dt)/(dx/dt)]2] dx

= 1/(dx/dt) √[(dx/dt)2 + (dy/dt)2] dx

= dt/dx √[(dx/dt)2 + (dy/dt)2] dx

= √[(dx/dt)2 + (dy/dt)2] dt

= 右方

其實就好像分數一樣抽公因子(common factor)，但請謹記這不是分數，這是微分的operation。

{√[1+(dx/dy)^2]}dx 應該是 {√[1+(dy/dx)^2]}dx 吧!!

若 x = x(t), y = y(t), 則 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) 推一下就出來了!!