MATHS ( 二次方程)

a) 3x2 - 10x + 8 = 0
△=(-10)2-4(3)(8)
=100-96
=4
>0
∴方程有兩個不等實根。

(b) x2 + x + 1 = 0
△=(1)2-4(1)(1)
=1-4
=-3
<0
∴方程沒有實根。

(c) 7x + 7 = (3x + 1)2
7x+7=9x2+6x+1
9x2-x-6=0
△=(-1)2-4(9)(-6)
=1+216
=217
>0
∴方程有兩個不等實根。


(d) x2 - 4kx + 4k2 = 0
△=(-4k)2-4(1)(4k2)
=16k2-16k2
=0
∴方程有兩個相等實根。

(e) x2 - kx + k - 2 = 0
△=(-k)2-4(1)(k-2)
=k2-4k+8
=k2-4k+4+4
=(k-2)2+4
>0
∴方程有兩個不等實根。

(f) kx2 - 6x - 2k = 0
△=(-6)2-4(k)(-2k)
=36+8k2
>0
∴方程有兩個不等實根。

[編輯] 一元二次方程

[編輯] 表達式
一元二次方程是指只含有一個未知數的二次方程，它的基本表達式為：其中。a為方程的二次項係數，為一次項係數，為常數。若，則該方程沒有二次項，即變為一次方程。


[編輯] 判別式



[編輯] 方程的根和判別式的關係
若，方程有兩個不同解：



若，方程有兩個相同解：



若，方程無實數解。


[編輯] 根與係數的關係
參看韋達定理

設，是一元二次方程的兩根，那麼

，

一元二次方程
二元二次方程
高元二次方程

[編輯] 求根公式的由來
中亞細亞的阿爾．花拉子模在公元年左右出版了《代數學》一書。書中給出了一元二次方程的求根公 式，並把方程的未知數叫做「根」，其後譯成拉丁文。

我們通常把 稱之為的求根公式


















[編輯] 極值

[編輯] 極值的公式
設


將其微分，可得


設,可得在中的極值(極大或極小值), 。








將代入，可得的極值


可得









(或 )


[編輯] 極值的類型
從二階導數測試，
, 在中是極大值；
, 在中是極小值；
, 在中是一個拐點。

，
可見如：
，的極值為極小值；
，的極值為極大值。
可是如，並非一條二次方程，
可見二次方程亦並沒有拐點。 以上判斷要以f'(x)=0為條件