a-maths~~~~~

設過 Q 之直線方程為:
y = m(x - 2)
其中 m 為斜率, 為一可變數.
所它與拋物線的交點, A 和 B 可求成:
m2(x - 2)2 = 4x
m2x2 - 4m2x + 4m2 = 4x
m2x2 - 4(m2 + 1)x + 4m2 = 0
即 AB 的中點之 x 座標為:
x = 2(m2 + 1)/m2 (根之和之一半)
由於該中點肯定在 y = m(x - 2) 上, 所以:
y = m[2(m2 + 1)/m2 - 2]
= 2/m
m = 2/y
將此結果代入 x 的表達式中:
x = 2(m2 + 1)/m2
x = 2 + 2/m2
x = 2 + y2/2
此為 AB 中點的軌跡方程.

設 A、B 的坐標分別為 (s^2, 2s) 及 (t^2, -2t)。
A、B過定點 Q(2,0)
[2s - (-2t)]/(s^2 - t^2) = (2s - 0)/(s^2 - 2)
st = 2
設(x, y)為 A、B 的中點。
x = (s^2 + t^2)/2
y = (2s - 2t)/2
2x = s^2 + t^2
y = s - t
y^2 = s^2 + t^2 - 2st = 2x - 4
弦 AB 中點的軌跡方程為 y^2 = 2x - 4。

2009-07-15 00:50:09 補充：
若設過 Q 之直線方程為 y = m(x - 2)，宜加討論該直線平行 y 軸時的情況。