數學問題~要有算式

「一件工作 ......」

設規定時間為 d 天。
甲需 (d - 2) 天完成，甲每天完成工程的 1/(d - 2)。
乙需 (d + 3) 天完成，乙每天完成工程的 1/(d + 3)。

兩人合作2天後，剩下繼續由乙單獨工作，剛好在規定時間完成。
即甲做了 2 天，乙做了 d 天。
2[1/(d - 2)] + d[1/(d + 3)] = 1
2/(d - 2) + d/(d + 3) = 1
(d - 2)(d + 3)[2/(d - 2) + d/(d + 3)] = (d - 2)(d + 3)
2(d + 3) + d(d - 2) = (d - 2)(d + 3)
2d + 6 + d2 - 2d = d2 + d - 6
d = 12

甲乙兩人合作一天，完成工作的分數
= 1/(12 - 2) + 1/(12 + 3)
= 1/10 + 1/15
= 1/6

答：甲乙兩人合作，完成這項工程需要 6 天。


「有一水池 ......」

設還需要 m 分鐘注滿水池。

每分鐘，甲管可滿 1/5 水池，乙管可注滿 1/10 水池，丙管可放走 1/15 水池水。
甲管開了 (m + 2) 分鐘，乙管開了 2 分鐘，丙管開了 (m + 2) 分鐘。

(1/5)(m + 2) + (1/10)(2) - (1/15)(m + 2) = 1
30[(1/5)(m + 2) + (1/10)(2) - (1/15)(m + 2)] = 30
6(m + 2) + 3(2) - 2(m + 2) = 30
6m + 12 + 6 - 2m - 4 = 30
4m = 16
m = 4

答：還要 4 分鐘注滿水池。


「放滿一個水池的水 ......」

設單獨開放 1, 2, 3, 4, 5 號閥，分別需要 a, b, c, d, e 小時放滿水池。
即每小時分別放滿水池的 1/a, 1/b, 1/c, 1/d, 1/e。

同時開放1, 2, 3 號閥，7.5 小時可放滿，即每小時可放滿水池的 1/7.5。
1/a + 1/b + 1/c = 1/7.5 ...... (1)

同理:
1/a + 1/c + 1/e = 1/5 ...... (2)
1/a + 1/c + 1/d = 1/6 ..... (3)
1/b + 1/d + 1/e = 1/4 ...... (4)

(1) + (2) + (3) + 2x(4):
3(1/a) + 3(1/b) + 3(1/c) + 3(1/d) + 3(1/e) = 1/7.5 + 1/5 + 1/6 + 2(1/4)
3[1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e] = 1
1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e = 1/3

答：同時開放五個閥門，3 小時可放滿這個水池。


「師徒三人承包一項工程 ......」

設單獨工作，師傅、甲徒弟、乙徒弟分別需時 m 天、a 天和 b 天。
即每小時師傅、甲徒弟、乙徒弟分別完成工程的 1/m、1/a、1/b。

1/m + 1/a + 1/b = 1/4 ...... (1)
1/m = 1/a + 1/b ...... (2)
1/m + 1/b = 2(1/a) ...... (3)

(2): 1/m - 1/a - 1/b = 0 ...... (4)

(3): 1/m - 2/a + 1/b = 0 ...... (5)

(1) - (4):
2/a + 2/b = 1/4
1/a + 1/b = 1/8 ...... (6)

(1) - (5):
3/a = 1/4
a = 12

把 a = 12 代入 (6):
1/12 + 1/b = 1/8
24b(1/12 + 1/b) = 24b(1/8)
2b + 24 = 3b
b = 24

答：單獨工作，甲需 12 天，乙需 24 天。

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1.一件工作.如果單獨作.甲按照規定時間可提前兩天完成.乙則要超過規定時間3天完成.現在.甲乙兩人合作2天後.剩下繼續由乙單獨作.剛好在規定時間完成.若甲乙兩人合作.完成這項工程需要幾天?
[解]
假設規定時間=X天
甲(X-2)天完成 1件工作 => 甲一天完成1件工作的 1/(X-2)
乙(X+3)天完成 1件工作 => 乙一天完成1件工作的 1/(X+3)
甲乙合作一天完成1件工作的 1/(X-2) + 1/(X+3)

2*[1/(X-2) + 1/(X+3)] + (X-2)*[1/(X+3)]=1
=> 2/(X-2) + X/(X+3)=1
=> (2X+6) + (X^2-2X)=X^2+X-6
=> X=12
=>甲乙合作一天完成1件工作的 1/(12-2) + 1/(12+3)=1/10+1/15=1/6
=>甲乙合作6天完成1件工作


2.有一水池.上面裝有甲乙兩個注水管.下面裝有丙放水.池空後.單開甲管5分鐘可注滿.單開乙管10分鐘可注滿.水池裝滿水後.單開丙管15可將水放完.如果在池空時.將甲乙丙齊開.2分鐘後關閉乙管.還要幾分鐘注滿水池?
[解]
甲管1分鐘注入1/5水池的水，
乙管1分鐘注入1/10水池的水，
丙管1分鐘放掉1/15水池的水
甲乙丙齊開，1分鐘注入(1/5)+(1/10)-(1/15)=7/30水池的水
甲丙齊開，1分鐘注入(1/5)-(1/15)=2/15水池的水

假設還要再X分鐘才能注滿水池，則
2*(7/30)+X*(2/15)=1
=> 14+4X=30
=> X=16/4=4
∴要再過4分鐘

3.放滿一個水池的水.如果同時開放1.2.3號閥門.7.5小時可完成.如果同時開放1.3.5號閥門.5小時可完成.如果同時開放1.3.4號閥門.6小時可完成.如果同時開放2.4.5號閥門.4小時可完成.同時開放這五個閥門.幾小時可以放滿這個水池?
[解]
假設1,2,3,4,5號閥門的每小時注水量分別是A,B,C,D,E，並假設水池的容量=X
X=(7.5)*(A+B+C)=5*(A+C+E)=6*(A+C+D)=4*(B+D+E)
=>A+B+C=X/(7.5)=(2X/15)，A+C+E=X/5，A+C+D=X/6，B+D+E=X/4
=> 1*(A+B+C)+1*(A+C+E)+1*(A+C+D)+2*(B+D+E)=X　→係數是用湊的
=> 3(A+B+C+D+E)=X
=> (A+B+C+D+E)=X/3
=> 即5個閥門全開，每小時注入(1/3)水池容量
∴3小時就可以注滿整個水池

4.師徒三人承包一項工程.4天能夠全部完成.已知師傅單獨作所需天數與兩個徒弟合作所需天數相等.而師傅與乙徒弟合作所需天數2倍與甲徒弟單獨作完所需的天數相等.那麼甲徒弟單獨作.完成這項工程需要多少天?乙徒弟單獨作.完成這項工程需要多少天?
[解]
假設師傅獨做X天完成工程 => 師傅獨做1天完成工程的1/X
假設甲徒獨做Y天完成工程 => 甲徒獨做1天完成工程的1/Y
假設乙徒獨做Z天完成工程 => 乙徒獨做1天完成工程的1/Z

師徒3人合作4天完成工程 =>1天完成1/4 => (1/X + 1/Y + 1/Z )=1/4　…(A)

兩徒弟合作，1天完成工程的1/Y + 1/Z=1/X
代入(A)=> 1/X+1/X=1/4 => X=8
=> 1/Y + 1/Z=1/8　…(B)

師傅和乙徒合作，1天完成工程的1/8 + 1/Z
因為師傅和乙徒合作完成的時間的2倍=甲徒獨做完成時間
所以師傅和乙徒合作1天=甲徒獨做2天
=> 1/8 + 1/Z=2*(1/Y) => 2/Y - 1/Z=1/8　…(C)
(B)*2-(C)得 3/Z=1/8 => Z=24

∴乙徒獨做要24天才能完成

P.S.：錯別字挺多的，看的很累


2009-07-14 18:30:16 補充：
解聯立得Y=12
∴甲徒獨做要12天才能完成