用sigma表示數列並求和的一個數學問題

The answer is as follows:

圖片參考：http://i320.photobucket.com/albums/nn347/old-master/090613_1.jpg?t=1247460497

補充一下，Σ中(3k+2)和(2k+5)的由來。

1.
先考慮數列一(所求每項前面的數)：5, 8, 11, 14, ... , 92
首項A_1=5，公差d=3
所以第k項 A_k=A_1+(k-1)d=5+(k-1)*3=3k+2　　→寫出一般項
令第n項A_n=92 => 3n+2=92 => n=30　　　　　→所以共有1~30項

2.
再考慮數列二(所求每項後面的數)：7, 9, 11, 13, ... , 65
首項B_1=7，公差D=2
所以第k項 B_k=B_1+(k-1)D=7+(k-1)*2=2k+5　　→寫出一般項
令第n項B_n=65 => 2n+5=65 => n=30　　　　　→所以共有1~30項

(這步可省略，因為前面就已經知道有30項)

3. 由1、2可知，所求的第k項=(3k+2)*(2k+5)，k=1~30
=>所求=Σ(k=1~30) (3k+2)(2k+5)
　　　=6Σ(k=1~30) (k^2) + 19Σ(k=1~30) (k) + Σ(k=1~30) (10)
　　　=6*(1/6)*30*(30+1)*(30*2+1) + 19*(1/2)*30*(30+1) + 30*10
　　　=30*31*61 + 19*15*31 + 300 = 31(1830+285)+300
　　　= 65865

3*7－2*5=11
3*9－2*8=11
3*11－2*11=11
3*39－2*14=11
3*65－2*92=11
3a－2(3k+2)=11
3a－6k－4=11
3a=6k+15
a=2k+5
So
5*7+8*9+11*11+14*13+.....+92*65
=sigma(k=1 to 30)_[(3k+2)*(2k+5)]
=sigma(k=1 to 30)_(6k^2+19k+10)
=6 sigma(k=1 to 30)_(k^2)+19 sigma(k=1 to 30)_(k)+ sigma(k=1 to 30)_(10)
=30*31*61+19*30*31/2+300
=65865

5．7+8．9+11．11+14．13+...+92．65=Σk=130 (3k+2)(2k+5)=Σk=130 (6k2+19k+10)=6Σk=130 k2+19Σk=130 k+Σk=130 10
=6．(30．(30+1)．((2．30)+1)/6) +19．(30．31/2)+10．30=

2009-07-13 11:14:39 補充：
6．(30．(30+1)．((2．30)+1)/6) +19．(30．31/2)+10．30=65865