轉學考 數學題目

Q1:
法向量=grad(5x+3y^2-z)=(5, 6y, -1)
代點(-1, 2, 7)=>法向量=(5, 12, -1)
=>切平面為 5x+12y-z=12
Q2:
設長寬高為x,y, z >0
已知 xyz= 1200
表面積= xy+2yz+2zx
>= 3 *(xy* 2yz * 2zx)^(1/3) (算幾不等式)
= 3[ 4*(xyz)^2 ]^(1/3)=A (Note: xyz=1200)
故表面積最小=A, 此時 xy= 2zy= 2zx => x: y: z= 2:2:1
又 xyz=1200 => x= 2*(300)^(1/3)= y , z= 300^(1/3)
即 高= (300)^(1/3), 長=寬= 2倍高時, 表面積(材料)最小
Q3:
考慮Σ[n=0~∞] x^n / n!
設 a(n)= x^n /n!
By ratio test: lim(n->∞) | a(n+1)/a(n) |= lim(n->∞) |x|/(n+1)=0 < 1
=>Σ[n=0~∞] x^n / n! (絕對收斂)
=> lim(n->∞) x^n / n! = 0
故 n->∞時 x^n < n!

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