積分求質心問題

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2009-07-02 1:53 am

let (x,y) be the centroid of D. Find x.

D={4x^2 <= y <= 16x^2+8x+4 and y <= 4}

D面積已經算出來了=5

想請問有沒有大概解法
看講義解法是

My=S x(4-4x^2) dx + ~~~~~~~~~~~~~~~~~(以下略)
上下限 -1到 -1/2

解出後My= 11/12

X=11/12 除 5 = 11/60

小的我從My這邊開始就看不太懂了= =
也不太知道My代表的是什麼..
不知道有沒有大大能解答一下
感謝~

更新1:

先感謝藍閃蝶大大提供的講解只是小的資質駑鈍..還是不太懂= =

回答 (2)

mathmanliu

2009-07-12 2:22 am

✔ 最佳答案

題目有誤!

2009-07-11 18:22:37 補充：
1. My表區域上所有點與y軸距離(含正負)的"力矩"
2. 設A表示 y=4x^2與 y=4所圍區域 ( -1<= x <= 1 )
y坐標差= 4-4x^2
B表示 y=16x^2+8x+4與 y=4所圍區域 (- 1/2 <= x <= 0 )
y坐標差= 4-(16x^2+8x+4)= -16x^2-8x
本題所指區域D即A-B
區域面積=∫[-1~1] (4-4x^2) dx - ∫[-1/2~0] (-16x^2-8x) dx
= 16/3 - 1/3 = 5
故My=∫[-1~1] x (4- 4x^2) dx - ∫[-1/2~0] x(-16x^2-8x) dx
= 0+∫[-1/2~0] (16x^3+8x^2) dx (第1項為奇函數,積分=0)
= 4x^4+ (8/3)x^3 代 x=-1/2 ~ 0
= 1/12
so, 質(形)心x坐標= My/面積= 1/60

註:另法
面積=∫[-1~-1/2] (4-4x^2) dx+∫[-1/2~0] (12x^2+8x+4)dx+∫[0~1] (4-4x^2) dx
= 5
My=∫[-1~-1/2] x(4-4x^2)dx +∫[-1/2~0] x(12x^2+8x+4)dx+∫[0~1] x(4-4x^2)dx
= 1/12

註: 質(形)心y坐標= Mx/面積= 56/25
Mx=∫[-1~1] (4-4x^2)(2+2x^2) dx-∫[-1/2~0] (-16x^2-8x)(8x^2+4x+4)dx
= 64/5 - 6/5 = 56/5

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用戶9170

2009-07-02 10:12 am

http://mathworld.wolfram.com/GeometricCentroid.html

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收錄日期: 2021-05-04 00:44:52
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090701000015KK08635

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