急~二項式的問題~c(n,n)

Pascal 公式 C(n,k-1)+C(n,k)=C(n+1, k)
C(2, 2)+ C(3,2)+C(4,2)+...+C(n, 2)
=C(3,3)+C(3,2)+C(4,2)+...+C(n, 2)
= C(4,3)+C(4,2)+...+C(n, 2)
= C(5,3)+...+C(n, 2)
= ... = C(n+1, 3)

註:每次相加兩項, 都用pascal公式, 注意結果的變化情形!

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1306031412341
這其實是很重要的巴斯卡三角形上的斜線公式

甲：C(m,m)+C(m+1,m)+C(m+2,m)+C(m+3,m)+......+C(n,m)=C(n+1,m+1)
乙：C(m,0)+C(m+1,1)+C(m+2,2)+C(m+3,3)+......+C(n,n-m)=C(n+1,n-m)
等號左邊會在巴斯卡三角形上連成一條斜線，總和呢，
八百多年前辛稼軒已經告訴我們了：舊時總和末項邊， "路轉" 溪橋忽見。

把m=2代入甲式即可。

我是用很單純的推導

c(2,2) + c(3,2) + c(4,2) + .... + c(n,2)

= 2!/(2!x0!) + 3!/(2!x1!) + 4!/(2!x2!) + ...... + n!/(2!x(n-2)!)

= (1x2)/2!+ (2x3)/2! + (3x4)/2! + ...... + (n-1)n/2!

= (n-1)n(n+1)/(3x2!)

=(n-1)n(n+1)/3!

=c(n+1,3)

C(2,2) + C(3,2) + C(4,2) + .... + C(n,2)

=[2(2-1)+3(3-1)+4(4-1)+...+n(n-1)]/2!

=[1(1-1)+2(2-1)+3(3-1)+4(4-1)+...+n(n-1)]/2!

因為1(1-1)是0，所以加進去並不影響答案，也比較容易觀察

=∑k(k-1)/2!=∑(k^2-k)/2!

k從1到n

={[n(n+1)(2n+1)/6]-[n(n+1)/2]}/2!=n(n^2-1)/6=(n+1)n(n-1)/6

6=3!

改寫：(n+1)n(n-1)/3!=C(n+1,3)

2009-07-01 00:45:27 補充：
我第一行到第二行是因為C(n,2)=n(n-1)/2!

對每個n都是如此

因此C(2,2)=2(2-1)/2!

C(3,2)=3(3-1)/2!
.
.
.
C(n,2)=n(n-1)/2!

分母都是2!，分子相加