尺規作圖:過A和B作圓

作法:1.作線段AB之中垂線L
2.在L上取適當一點X,以X為圓心,以XA為半徑,
作一圓,使圓X交圓O於C,D兩點.
3.取直線AB和直線CD之交點E.
4.作直線EO,交圓O於P,Q兩點.(此時PQ為圓O之直徑)
5.作線段PQ之中垂線M,交L於Y點.
6.以Y為圓心,以YA為半徑作一圓.
則圓Y即為所求
略證;因為A,B,C,D四點共圓
所以EA*EB=EC*ED
又C,D,P,Q四點共圓
所以EC*ED=EP*EQ
因此EA*EB=EP*EQ
推得A,B,P,Q四點共圓

2009-06-22 23:50:04 補充：
PS:若AB與CD平行,表示圓O的圓心在L上,
此時,取PQ為圓O上平行於AB的直徑即可,
在此情況下A,B,P,Q四點構成等腰梯形

若AB長>= 圓O直徑,就容易多了!

2009-06-23 01:28:10 補充：
設AB長= 2a >= 圓O直徑 2r
作AB之中垂線L, 交AB於C點, 在AB線段上取P點, CP=√[(a+r)(a-r)]
(用半圓直角三角形即可作到)
作OP之中垂線交L於D點, 則DP=DO=√(R^2-r^2)
以D為圓心,DA為半徑(R)即得
(缺點: a< r時, 此法則行不通, S73的方法很好!)