一題高中柯西不等式及三角形問題

圖片參考：http://s585.photobucket.com/albums/ss296/mathmanliu/trig1.gif

或參考:http://www.wretch.cc/album/album.php?id=mathmanliu&book=1
Q1: (度字省略)
三角形適當放大縮小, 設PC=1, 角APC=t, 則AC= sint = BP
三角形ABC, 由sin定理:
(1+sint) : sin120= sint : sin(t-30)
=>√3 sint = (1+sint)(√3 sint - cost)
√3(sint)^2= cost(1+sint), 設 x= sint , x>0
平方: 3x^4= (1-x^2)(1+x)^2
=> 4x^4+ 2x^3 - 2x-1=0,
(2x^3-1)(2x+1)=0, x= (1/2)^(1/3) (三次方根)
=>PC: AC= 1: x
而 AC= a => PC= a/x= a*(1/2)^(1/3)

Q2:
27/a^2+ 1/b^2 = 1, 設 a= 3√3 sect, b= csct
a+b= 3√3 sect + csc t
法一: 導函數
(a+b)'= 3√3 sect tant - csct cot t=0 => tan(t)= 1/√3
=> a+b 最小= 6+2=8
法二: 中學不等式(有點小技巧)
(a+b)^2= 27(sect)^2 + (csct)^2+ 6√3 sect*csct
= 27(tant)^2+ 27 + (cot t)^2 + 1 + 6√3 (tant+ cot t)
= [27(tant)^2+3√3 tant+3√3 tant]+[(cot t)^2+3√3 cot t+3√3cot t]+28
>= 3[27*3√3*3√3]^(1/3) + 3[1*3√3*3√3]^(1/3) + 28
= 27 + 9 + 28 = 64 (算幾不等式)
so, a+b最小=8
此時, 27(tant)^2= 3√3 tant且 (cot t)^2= 3√3 cot t (合)
=> tan t= 1/√3, sect= 2/√3, a=3√3 sect= 6, b= csct= 2

2009-06-21 13:10:21 補充：
Q1:參考http://www.wretch.cc/album/show.php?i=mathmanliu&b=1&f=1740516356&p=127

2009-06-21 16:11:03 補充：
Q1:更正,謝謝艾大!
最後一式
PC= a/x= a*(1/2)^(1/3)應是PC= a/x= a*[2^(1/3)]

第2題 用微分算，a=6，b=2時有極值，此時a+b=8