一題應該沒有人能答到的數學題

π + e 是超越數還是代數數是一個open problem﹐若果證明到應該可以拿數學大獎。例如 The Leroy P. Steele Prize for Seminal Contribution to Research.
當然π + e 是超越數的可能性大很多﹐因為代數數的數目是可數而實數的數目是不可數﹐因此超越數的數目亦是不可數。不過貿然說π + e 是超越數的概率是1亦是很危險的。
為甚麼判斷π + e 是否超越數困難的原因可以分析說明如下
現在證明一個數是超越數的策略主要是用以下六個步驟：
1 假設α是代數數﹐即有整係數多項式P(α)=0
2 根據P(x) 的係數及α特性弄一個整數N出來。
3 證明N不是0
4 證明|N|<1
5 用數論基本原則：「0和1之間沒有整數」得出矛盾﹐因此α是超越數﹐大功告成。
以下用一個簡單例子闡述以上過程
證明√2是無理數
1 假定√2是有理數。
P_n(z)=(a_n)^2z^2-(b_n)^2
a_n=2(a_n-1)+(a_n-2),b_n=2(b_n-1)+(b_n-2)
a_0=0,a_1=1;b_0=1,b_1=1
P_n(√2)=2(a_n)^2-(b_n)^2
注意到 2(a_n)^2-(b_n)^2 = (-1)^(n+1) => |P_n(√2)|=1
因此 |(a_n)√2-(b_n)][√(a_n)√2+(b_n)]| =1
|(a_n)(s/r)-(b_n)][√(a_n)(s/r)+(b_n)]| =1
|a_nr-b_ns||(a_nr+b_ns)/s^2|=1...(*)
2 令N=a_nr-b_ns
3 由(*),N不會等於0
4 (*)可以變成|a_nr-b_ns|=s^2/(a_nr+b_ns)
由a_n和b_n的差分方程可知a_n和b_n是嚴格遞增﹐因此(a_nr+b_ns) 亦是嚴格遞增﹐因此總會有n'使s^2<(a_n'r+b_n's),這時|a_n'r-b_n's|<1
5 我們得到0<|a_n'r-b_n's|<1﹐而這與數論基本原則矛盾﹐因此√2是無理數。
由以上過程可知要證明一個數是否超越數難在構造這樣的N (基本上是靠天才)。
現在證明e是超越數的過程中用到了e^z=Σz^n/n﹐就是因為有這條公式所以使得以上策略成為可能。(其實證明e是無理數亦用了這條公式) 而因為證明到e是無理數﹐所以透過另一條公式 e^iπ= -1 可以導出π 亦是超越數。策略是假設π 不是超越數﹐則iπ亦不是超越數。令P(x)是使P(iπ)=0的多項式﹐其根為α_1=iπ,α_2...α_n ﹐因此 (e^α_1+1)(e^α_2+1)...e^(α_n+1)=0 !!! 之後便有事可作﹐當然又是靠天才找過N出來。
現在考慮 e^i(π + e) = (e^iπ)(e^ie) = -(e^ie) 或 e^i(π + e) + e^ie = 0
和以上不同的是﹐e^ie 這個數本身就和π + e 一樣是一個「迷」﹐例如它是實數抑或複數 ? 所以用攻陷π的方法去對付π + e 看來是不可行。
另外因為π的超越性證明是完全倚賴 e ﹐所以亦不像 e + Σ10^(-n!) (n from 1 to infinity) 可以用證明 Σ10^(-n!) 的那套方法「套上去」----- 因為證明 Σ10^(-n!) 的那套方法本身和證明 e 那套方法無關係
所以除非可以找到一個不倚賴 e 的方法證明π的超越性﹐否則嘗試證明π + e 的超越性好明顯并不樂觀。但這和判斷γ是否超越數一樣困難----注意到e和γ沒有關係式聯起來。

要我估，我估π+e是超越數：

(1) 如意見003，一個數是超越數的機會，比它是代數數的機會大多了。
(2) π 和 e 都是超越數

It is unknown.
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number

此言差矣。機率何來1/2呢？
實數是不可數的，而代數數為可數的，故超越數是不可數的。
換句話說，一個數是超越數的機會，比它是代數數的機會大多了！

回正題，要決定π+e是哪一類，這怕是數學家的level吧！
對於我們這些數學界的小薯，怕且沒可能做到了……

001 你果句廢話
我笑左 v_v
局限係兩個答案入面
機率梗係1/2 -.-
你係咪加少個小數點
20.0才對~~~

2009-06-20 18:19:36 補充：
我仲諗緊你證明題會點做
會否如我所料
寫''題目已供''?

1點都不困難,
答呢條以機率黎計算是1/2,
唔系超越數就是代數數,
計出黎都蚊訓,我掉銀仔決定好過,
人地話我IQ200我都唔信,
今日我終於覺得自己系,


從你發表這文章目的應該是想SHOW CALL LI 對吧!?