奧林匹亞數學

Q1:
設AB=AC=2x => 面積= 2x^2 sinA= 10 => sinA= 5/x^2
B相對之中線長^2 = x^2+(2x)^2 - 2*x*2x*cosA
= 5x^2- 4x^2 cosA
= 5x^2 - 4√(x^4- 25) ---(A)
設 x^2= 5 sec(t) =>
中線長^2 = 25 sec(t)- 20 tan(t) = 5( 5- 4sint)/cost
設 (5-4sint)/cost = k (求k之最小值即可)
=> 4sint+k cost = 5
=> √(16+k^2) >= 5 => k>= 3 (負不計)
故中線長^2 最小值= 5*3= 15 =>中線長最小值= √15
Q2:
p(p-1)^3 恰有128個正因數 => (p-1)^3恰有64個正因數
只有2種case: (1) p-1= abc (a, b, c為相異質數)
or(2) p-1= a^5*b (a, b為相異質數)
Note: p-1必為偶數
case1: p-1= abc, 可設a=2, 又p<100
=>(b, c)= (3, 5), (3, 7), (3, 11), (3, 13), (5, 7) (只有5種)
相對p=abc+1=31, 43, 67, 79, 71
case2: p-1= a^5* b 又 p<100=> (a, b)=(2, 3), p=97
故p= 31, 43, 67, 79, 71, 97 (共6個)

Q1的解法其實有更簡單的。
請參考：
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509062009775

Q2:乘我見過這問題6次了!~.~

Q1: 也可用解析幾何