無窮級數求值

π/4-(1/2)ln2

2009-06-20 14:13:47 補充：
For each positive integer k,let a_k=Σ(n=1~k)(-1)^(n-1)/[(2n)(2n-1)]
Σ(n=1~k)(-1)^(n-1)/[(2n)(2n-1)]
=Σ(n=1~k)(-1)^(n-1)[1/(2n-1)-1/(2n)]
=[Σ(n=1~k)(-1)^(n-1)/(2n-1)]-[Σ(n=1~k)(-1)^(n-1)/(2n)]-------(*)
Claim 1: Σ(n=1~∞)(-1)^(n-1)/n=ln2
Proof: For |x|<1,|t|<1,∫_[0,t] Σ(n=1~∞)(-1)^(n-1)*x^(n-1)dx
=∫_[0,t] Σ(n=1~∞)(-x)^(n-1)dx
=∫_[0,t] dx/(1+x)
=ln(1+t)
又Σ(n=1~∞)(-1)^(n-1)/n is converges,故由Abel's limit theorem
lim(t->1-)ln(1+t)=lim(t->1-)∫_[0,t] Σ(n=1~∞)(-1)^(n-1)*x^(n-1)dx
=lim(t->1-)Σ(-1)^(n-1)∫_[0,t]x^(n-1)dx
=lim(t->1-)Σ(-1)^(n-1)*t^n/n
=Σ(-1)^(n-1)/n
Claim 2 Σ(-1)^(n-1)/(2n-1)=π/4
proof :Similarly, for |x|<1,|t|<1
∫_[0,t]Σ(-1)^(n-1)*x^(2n-2)dx
=∫_[0,t]Σ(-x^2)^(n-1)dx
=∫_[0,t]1/(1+x^2)dx
=tan^(-1)(t)
又Σ(-1)^(n-1)/(2n-1) is converges, again by Abel's limit Theorem
π/4=lim(t->1-)tan^(-1)(t)=lim(t->1-)∫_[0,t]Σ(-1)^(n-1)x^(2n-2)dx
=lim(t->1-)Σ(-1)^(n-1)∫_[0,t] x^(2n-2)dx
=lim(t->1-)Σ(-1)^(n-1)t^(2n-1)/(2n-1)
=Σ(-1)^(n-1)/2n-1
故原式=lim(k->∞)a_k=Σ(-1)^(n-1)/(2n-1)-(1/2)Σ(-1)^(n-1)/n
=π/-(1/2)ln2


2009-06-20 14:14:55 補充：
π/4-(1/2)ln2

π/4-(1/2)ln2 =0.443825

分析功力一流!
參考一下:將arctan(x)的級數展開,積分一次,再帶x=1試試!

我把一些東西當已知
然後整理參考一下

http://i580.photobucket.com/albums/ss244/linch_1/picture-202.jpg

2009-06-21 01:42:44 補充：
根據大師提醒

http://i580.photobucket.com/albums/ss244/linch_1/picture-202-1.jpg

顥顥大大
你錯了喔
他是一加一減耶
不是一直加喔
真要寫成那樣也是:
1/1-1/2-1/3+1/4+1/5-1/6-1/7+1/8................才對
至於後面怎算就不知了

先簡化問題

假如1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+..........
└┘ └──┘ └───────┘
1 2 3 4

答案是多少呢?是接近1? 還是2? 還是3?

答案是:無限大

把上面的問題分成1.2.3.4來看

1→1/2 2→1/3+1/4=7/12>1/2 3→1/5+1/6+1/7=107/210>1/2

4→1/8+1/9+1/10+1/11+1/12=2021/3960>1/2

這樣就變成無數個比1/2大的數

所以就變成1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+........總和就是無限大

2009-06-20 13:25:05 補充：
1代表1/2

2代表1/3+1/4

3代表1/5+1/6+1/7

4代表1/8+1/9+1/10+1/11+1/12

2009-06-20 18:35:14 補充：
在一次,我看錯題目了

先總合問題=1/2-1/12+1/30-1/56+.........

先通分為20160/40320-3360/40320+1344/40320-

720/40320=17424/40320=121/280

這樣下去也是無限大呀