關於高中數學 極值的應用

一般應該都是求外切"直"圓錐體積吧，我當作直圓錐來做好了


假設球的球心為O，圓錐頂端為A

此球切圓錐底圓於B，圓錐底圓半徑為R，圓錐底圓圓周上某一點為C

從球心O對AC線段作垂線，交AC線段於D點

令AO線段 = x　(x>r)

則AD線段為√(x^2 - r^2)

AB線段，也就是直圓錐的高，等於x+r

因為△AOD與△ACB相似

所以AD/OD = AB/CB

√(x^2 - r^2) / r = (x+r) / R

R = r(x+r) / √(x^2 - r^2)


所以此圓錐體的體積

f(x) = π*R^2*(AB)*(1/3)

　　= π*r^2*(x+r)^3 / 3*(x^2 - r^2)

　　= πr^2*(x+r)^2 / 3(x-r)

微分

f '(x) = (r^2*π/3) * [2(x+r)(x-r) - (x+r)^2] / (x-r)^2

　　= (r^2*π/3) * (x^2 - 2rx - 3r^2) / (x-r)^2

　　= (r^2*π/3) * (x-3r)(x+r) / (x-r)^2

f '(x) = 0，x = 3r、- r(不合)

所以x = 3r時，圓錐體積有極小值

f(3r) = πr^2*(3r+r)^2 / 3(3r-r)

　　= π16r^4 / 6r

　　= π8r^3 / 3

2009-06-19 21:11:26 補充：
突然發現你的題目是寫圓= =

應該是球才對吧，不然怎麼會有外切圓錐

是球體半徑為r嗎?還是底圓?