數學問題：內切球問題

假設小球的半徑為r, 則四個小球的圓心連線，會是一個稜長為2r 的正四面體
其中每一面都是正三角形
則每一面的重心到其頂點的距離 =2r*sin60*(2/3) = (2 √3/3)r
若正四面體的任一面上的高為 h
則h = √[(2r)^2 - [(2 √3/3)r]^2] = (4/ √6)r
r = ( √6/4)h[ 版大你的想法真的沒錯, 別懷疑!!]
假設大球球心到正四面體的距離皆為x
則x^2 = (h-x)^2 + [(2

2009-06-19 19:12:17 補充：
後面東西漏掉,重新補充
假設大球球心到正四面體的距離皆為x
則x^2 = (h-x)^2 + [(2√3/3)r]^2
由此可得x = (√6/2)r
所以大圓半徑 =[(√6/2) + 1]r
當r =1時,大圓半徑 =(√6/2) + 1………………(解答)

設正四面體"內切球"半徑 r, 正四面體高 h => h= 4r
h = 2√6 / 3 (版大的方法沒錯!)
(繼續..)正四面體的外接球半徑= (3/4)h = √6 /2
再加一個原來小球的半徑 1 => 外切球半徑 R = 1+ √6/ 2

2009-06-19 01:29:23 補充：
這個 r 不是原題4小球的半徑, 是原題4小球心形成4面體的內切球半徑,
性質: 正四面體之內切球半徑與外接球半徑比值= 1/3 => h= 4r
本題所求為 (正四面體外接球半徑,再加原小球半徑 1 )

我算出來跟你一樣 r=√6 h / 4 ，
又 r = 1 ==> h= 2√6 / 3 ==> 大球半徑 = (√6/2) + 1