saddle point (鞍點) 之數學意義及應用

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鞍點

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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Saddle_point.png/180px-Saddle_point.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/0/4/2044246d937cab5f5eda0e8885abd04c.png
的鞍點在 (0,0)
廣義而說，一個光滑函數（曲線，曲面，或超曲面）的鞍點鄰域的曲線，曲面，或超曲面，都位於這點的切線的不同邊。
參考右圖，鞍點這詞語來自於不定二次型
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/c/d/0cd387fa6842559191bd76684b50dc3c.png
的二維圖形，像個馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲。
检验二元实函数F(x,y)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的黑塞矩阵：如果黑塞矩阵是不定的，那么该点就是鞍点。例如，函数z = x2 − y2在驻点(0,0)的黑塞矩阵是：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/a/5/4a597c2c08371cbae4e0e8ad677ce5c5.png

它是不定的，因此，这个点是鞍点。然而，这个条件只是充分条件，例如，对于函数z = x4 − y4,点(0,0)是一个鞍点，但函数在原点的黑塞矩阵是零矩阵，它不是不定的。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/X_cubed_plot.gif



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/8/f/b8f1e56c445cc1927b6bc2bbc2e912e0.png
的鞍點在 (0,0)
如右圖，一維鞍點看起來並不像馬鞍！在一維空間裏，鞍點是駐點．也是反曲點。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹，或由凹轉凸，鞍點不是區域性極點。
思考一個只有一個變數的函數。這函數在鞍點的一次導數等於零，二次導數換正負符號．例如，函數
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/8/f/b8f1e56c445cc1927b6bc2bbc2e912e0.png
就有一個鞍點在原點。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Saddle_pt.jpg/150px-Saddle_pt.jpg



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
兩座山中間的鞍點(雙紐線的交叉點)
思考一個擁有兩個以上變數的函數。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高線圖裏，一般來說，當兩個等高線圈圈相交叉的地點，就是鞍點。例如，兩座山中間的山口是一個鞍點。

[编辑] 参见

驻点
拐点
极值

[编辑] 参考文献

Gray,, Lawrence F.; Francis J. Flanigan & Jerry L. Kazdan et al. (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97388-5, at page 375
Hilbert, David & Stephan Cohn-Vossen (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
von Petersdorff, Tobias (2006), "Critical Points of Autonomous Systems", Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes)
Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66103-2, at page 128
来自“http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9E%8D%E9%BB%9E”

分类: 多变量微积分 | 微分学