試證方程組的解構成正三角形

👨🏻‍🏫 學術台數學

用戶3346

2009-06-15 2:41 am

方程組
(x-h)^2+(y-k)^2=4(h^2+k^2)
xy=hk
的四個解中
試證其中三組(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)在座標平面上構成一個正三角形的三個頂點
PS:請不要抄書上的解答(給數學迷的500題)

更新1:

to 菩提大師我一開始也是這樣解，不過y是另外再解一遍後來想到乾脆一起解，就用複數可是在高中教久了，複數不大靈光總覺得我的式子可以再少一些至於幾何看法，不知道，因為雙曲線不大好做

回答 (1)

mathmanliu

2009-06-15 5:45 am

✔ 最佳答案

解聯立:(x-h)^2+(y-k)^2= 4(h^2+k^2), xy=hk
=>(x+h)(x^3-3hx^2-3k^2x+hk^2)=0
x= -h, x1, x2, x3
x1+x2+x3= 3h
x1x2+x1x3+x2x3= -3k^2
x1x2x3= -hk^2
=> 1/x1+1/x2+1/x3= 3/h
y1+y2+y3=hk(1/x1+1/x2+1/x3)= 3k
=>三點A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)重心=(h,k)
又A,B,C三點均滿足(x-h)^2+(y-k)^2= 4(h^2+k^2)
故三角形A,B,C重心, 外心同一點=>正三角形

2009-06-14 21:51:05 補充：
代數是事後分析驗證, 應有幾何的觀點吧!?

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收錄日期: 2021-05-04 00:44:45
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090614000015KK08329

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