關於無窮大的自然數_00001

無窮是一種概念
並非事一個實數
當然就不可能有所謂的
無窮大的自然數

2009-06-13 08:16:06 補充：
請問一下 [email protected]：

由您的見解來看

到底有沒有無限這個自然數 ?

2009-06-13 14:25:25 補充：
[email protected]：

依您見解存在一個自然數是無限大

那自然數是實數

也就是說無限大是一個實數吧！

那無限大就可以做四則運算囉

那無限大 + 1 又是甚麼呢 ?

我還是要說不存在一個自然數是無窮大

2009-06-13 22:21:49 補充：
我想我還是要說明一下我認為不存在一個 "無窮大" 的自然數
根據中央研究院數學研究所數學傳播電子版中文章
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d174/17407.pdf
所提供的自然數定義如下
自然數全體的集合 N 中有自然數1, 並存在一種函數關係, 使自然數 x 對應於自然數 x + 1 (我們且以 x' 表示它吧), 滿足下列五公理:
(1) 1 屬於 N。
(2) 若 x 屬於 N, 則 x' 屬於 N。
(3) 若 x 屬於 N, 則 x' 非 1。
(4) 若 x, y 皆屬於 N, 且 x' = y', 則 x = y。
(5) 若有一集合 M 滿足 (a) 1 屬於M; (b)若 x 屬於 M, 則 x' 屬於M; 兩個條件, 則 M 為 N 的子集合。
以上的五個公理稱為對自然數的皮亞諾公理系
這裡只能告訴你自然數只能往後推，並不能往前推
也就是說若你知道某一個數是自然數，則那個數 + 1 也是自然數
而我們只能說自然數沒有上界，並不能說有一個自然數是 "無窮大"
若是那根據公理 "無窮大 + 1" 也是自然數囉！
那請問 "無窮大 + 1" 與 "無窮大" 有何不同?
自然數也是實數，實數是在數線上可以表示出的數(實際上可以表示出來的數)
那再請問 " 無窮大的自然數" 在數線上如何表示
再者板大寫的那個不正式的證明過程中
其實已先認定了 M(根號2) 是自然數然後再倒推
在證明時並不能假設他是自然數然後去證明他是自然數
(因此 M(根號2)這樣的概念 我們 "假設" 他也是一個數在數線上也是一個點 )
況且既然你說那個點是無窮大那就如我上面所問該點如何在數線上表示?
所以已經犯了一些邏輯上的問題
除非你能根據公理來說明 M(根號2) 是自然數
所以我再次強調
我們只能說自然數是沒有上界的，但是我們不能說有一個自然數是無窮大的
還有我們在利用數學歸納法證明時只能證明對所有的自然數是對的並不能證明那個式子在無窮是對的
舉個例子來說
對任意的 n, A_n 是一個開集合，我們可以利用數學歸納法證明到，對所有的自然數 n, A_1, A_2, ... ,A_n 做交集還會是開集合，但是若是有一個自然數是無窮大，那不是我們可以證明 A_1, A_2, ... , A_n, ... 做交集後還是開集合嗎？事實上是不可以的。例如 ( 1 - 1/n, 1 + 1/n)
有疑問歡迎一起討論

2009-06-13 23:20:36 補充：
我在回答中說了
請問一下你怎麼知道 M(根號2) 是自然數?
那我為什麼不能假設 M(根號2) 不是自然數?
既然它是無窮大那請問
無窮大 - 1 是甚麼? 還是無窮 ?
那怎麼能說他減到最後會是 1?

2009-06-13 23:22:48 補充：
我想強調的是無窮大是一種 "慨念"
你能說找不到最大的自然數
但是不能說有一個無窮大的自然數

兩種概念是不一樣的

2009-06-14 00:18:28 補充：
那怎麼能說他減到最後會是 1?
所以 我用-1的方式 是確保 最後會減到1 甚至0 這是一種證明的方式

你說他最後會減到 1 ? 那是因為你假設原來那數是自然數所以才會減到 1

你怎麼知道他不是減到 1/2 ?

2009-06-14 00:22:27 補充：
我們在證明時若是用假設的通常適用在反證法

也就是假設他是 A 可是得到矛盾所以可以得到他不是 A

不能假設他是 A 去證明他是 A

因為你既然假設他是 自然數 表示他就有了自然數的一些性質
但是事實上你並不知道他是否是自然數
也就是那個數不一定會符合自然數的性質
怎麼可以拿自然數的性質來證明呢

2009-06-14 09:22:37 補充：
想請問您甚麼叫存在??

我們在寫實數 R 時會說 R = (- ∞,∞) 不會寫 [ -∞, ∞]
表示 ∞ 並不是在實數裡面
若是有無窮這個自然數
那這個數惟一嗎
那無窮 + 1,兩倍的無窮, 無窮的一半分別是多少呢
他們之間能比較大小嗎?
而我們知道兩個自然數分別可以比較大小
你找的那些無窮可以比較大小嗎

2009-06-14 09:30:39 補充：
無窮只是一個 "極限" 的概念
那是一個很大很大的 "想法"
他要多大有多大比任何數都大

我們說 lim_{x->0} 1/ x^2 = ∞
並不是說有一個數會讓 1 / x^2 等於無窮
而是說當 x 用很靠近 0 的數代進去時
1 / x^2 會很大而且要多大有多大

2009-06-14 09:37:31 補充：
上面我說了
我們在證明時若是用假設的通常只適用在反證法
也就是假設他是 A 可是得到"矛盾" 所以可以得到他不是 A

不能假設他是 A 去證明他是 A

你的問題是假設了 M(根號2) 是自然數然後去證明 M(根號2) 是自然數

這是不對的

2009-06-14 09:43:42 補充：
若有一個題目是問你當 ab = ac 時 b 會不會等於 c

你能假設 b = c 然後說兩邊乘一個 a 所以 ab = ac
因此 ab = ac 可以推到 b = c 嗎?

很明顯我的命題是錯的 ab = ac ==> b = c 是要有條件的 ( a =/= 0)

你現在就是在用這種想法在證明題目
你假設 b = c (M(根號2) 是自然數)
然後用 b = c 會有的性質 (自然數的性質) 去倒推 ab = ac (M(根號2) 是自然數)
這樣是完全不合理的

2009-06-14 15:49:54 補充：
不存在!!

我一直強調無窮是一個 "概念" 一種 "想法"

並不能找到一個數等於 無窮

就像若我問你在 (0,1) 裡最大的數是多少?

是 1 嗎? 不是!! 因為 1 並不在 (0, 1) 裡

那是多少呢?

我們只知道 (0, 1) 裡有最小上界是 1

但是最大值卻是不存在

2009-06-16 21:35:34 補充：
若有一自然數 x 為無窮

則 x + 1 還是自然數且為無窮

因此 x + 1 = x

根據遞移律得到 1 = 0 矛盾

所以不存在無窮的自然數

2009-06-17 09:03:22 補充：
已經說了很多次了

無窮是一個趨近的 "概念"

嚴格來說你所謂的 M(根號2) 是"趨近" 無窮

M(根號2 + 1) 也是 "趨近" 無窮

如何定義兩個都趨近無窮的東西誰大誰小 ?

建議先把無窮趨近的概念了解清楚

否則這個題目再討論下去就沒有意義了

根據維基百科, 這個數字是 Aleph null, 也就是自然數集合的基數 |N|. 由於可經由證明而得知|N|不是無限, 而且也是一個整數, 因此 |N|也是一個實數.

證明自然數集合(自然集合)的基數|N|不是無限.
https://tw.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=1715012702072

參考資料:
http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number

2015-01-27 14:58:10 補充：
|N|是一個 infinite cardinal (無窮大的基數), 但是它不是無限.

在自然數集合的規範下, |N|是無窮, 但是它是侷限在自然數集和內, 此"侷限"就註定了|N|不是無限.

因此infinity的中文翻譯應該是以"無限大"比較更恰當.

樓上那位講得好，用(0,1)反駁深得我心。

我用中文來解釋，無窮大等價於無限沒問題吧？有問題去翻一下辭海

無限就是不可限量，佛家講不可思議，也就是你沒有能力去定義他，你要是有能力，不會老是用什麼無窮大的字義去代表它，也不會用「∞」，這個只是無限的代號而已，用英文來講它是集合名詞，也就是說∞，可以代表凡是你無法摸著的要多大就有多大的數值。所以，無窮大只是個概念而已，要是它是數值，也不會是「一個自然數」，一定是無限個「自然數」的集合。

2009-06-19 09:00:11 補充：
另外，老是去爭什麼「∞+1」、「∞+2」的，假設今天「∞」就是一個數值，那麼，lim(x->∞) [x] = lim(x->∞) [tanx] = lim(x->∞) [e^x] =lim(x->∞) [lnx] = ∞ ，這樣很明顯是錯的。因為：lim (x->∞) [lnx/e^x] = 0 ，這個解釋為上面的無限比下面的無限還要小，而且要有多小就有多小，且不管多麼小還是無限。那不是等價於：無限有2個以上了？

2009-06-19 09:08:35 補充：
也就是說，無限只是對於「你沒有能力去解釋」要多大就有多大的數的代稱而已。也找不到有「一個」數值是可以等於0，又等於1，又等於2，又等於3的，如果找得到那麼 ∞+1 = ∞+2 = ∞+3 = ∞ 就可以成立。無限只是個總稱而已，或是說沒有定義，只是一個概念而已，上述把無限拿來加減就已經犯錯了。所有證明把無限拿來加減也是錯。

2009-06-19 09:09:34 補充：
板大不需要回我，我懶得看，路過而已，我有期末考要考，所以回來看的機率趨近於0。

Linch的觀念沒錯!
無窮大是一個概念,不是一個明確數值, 沒有一個數叫做"無窮大"!
板大所舉之M是個無意義的"值",它不存在,不是無窮大!
可以說自然數集合沒有上界, 但不能說自然數集合含"無窮大"這個值

請問linch 無窮大的自然數不存在 如何證明?
自然數當然可以倒推 自然數的後繼是自然數 如果 一個概念是一個自然數的後繼 那麼這個概念 是自然數 如果一個概念的後繼是自然數 那麼這個概念 當然也是自然數
請問藍閃蝶 M(根號2) 這個概念 是由根號2建立而來的 只是假設它是這樣一個概念可能是一個數 然後 由證明 去證出他是一個數

2009-06-13 23:15:52 補充：
只是 後推時 最小自然數 是1 再後推 才算不合法

2009-06-13 23:59:18 補充：
那我為什麼不能假設 M(根號2) 不是自然數?
當然可以假設它不是自然數
無窮大 - 1 是甚麼? 還是無窮 ?
那怎麼能說他減到最後會是 1?
所以 我用-1的方式 是確保 最後會減到1 甚至0 這是一種證明的方式
我想強調的是無窮大是一種 "慨念"
你能說找不到最大的自然數
但是不能說有一個無窮大的自然數
兩種概念是不一樣的
所以才要以證明 才能知道 我們想的 我們說的 是不是對的

2009-06-14 08:24:46 補充：
煩惱即是菩提 藍閃蝶 linch 請問 能提出證明嗎?
問師長也可以
M(根號2) 這樣的概念是由 根號2得來的 這樣建立的概念會比
係數為1 由藍閃蝶 提出來的 更清楚
M(根號2) 之所以存在 也是由 根號2推論並進而假設的
因為 根號2 每一項的係數都確定 所以才假設 M(根號2) 這樣的概念是存在的 也可能是數線一個點 更可能是一個在自然數公理系統內的數

2009-06-14 08:26:22 補充：
先不談 M(根號2) 這樣的概念 是不是你們說的那樣 請問 這證明的步驟 有哪一個步驟是錯的或者不合理的嗎?

2009-06-14 15:31:12 補充：
我大概知道你們的意思 現在先回到這個問題
無窮大的自然數存在嗎 這個證明
能提出這樣的證明嗎

「M(根號2)=1*10^0+4*10^(1)+1*10^(2)+4*10^(3)+2*10^(4)+........
M(根號2)是一個無窮大的自然數 也就是 無窮大的自然數 存在 」

可以數式表達不代表它存在！諸如：

S = 1 - 1 + 1 - 1 ...

k = 0/0

x = x + 1

2009-06-14 00:54:43 補充：
「請問藍閃蝶 M(根號2) 這個概念 是由根號2建立而來的 只是假設它是這樣一個概念可能是一個數 然後 由證明 去證出他是一個數」

抱歉，搞不懂伙在說什麼。

其實不必利用 M(根號2)，以 Ｘ = 1*10^0 + 1*10^(1) + 1*10^(2) + 1*10^(3) + 1*10^(4) + ........，即全部位數為 1 亦可。

只是，能想像，能描述它，不代表它「存在」。

2009-06-14 00:54:54 補充：
「由 自然數公理 可知 M(根號2) 是一個自然數。」有點蠻。

「存在」的意思即「是一個數」。當然，你可定義它是一個「新數」，正如引入複數√-１擴充「數」系，但那就必須重新定義「數」系及其中的法則。

有興趣可參閱與你構想接近的 Non-Standard Analysis:
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis

自然數的定義是從1﹐2﹐3。。。到無限。所謂無限就是它沒有界限。

這不需證明。

2009-06-13 08:43:03 補充：
由於自然數沒有界限﹐那它當然存在無限大。

2009-06-13 08:48:39 補充：
可是無限大並不是指它大過任何東西﹐而是一個很大的概念.