[急] Firsr- and Second-order逼近

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2009-06-13 4:23 am

根據定理

下面兩個極限不是應該為零嗎

為什麼會不存在呢

是因為不符合定理的假設嗎

如:非C1 和C2

若是的話可以證明給我看嗎>"<

lim [sin(x+xy-y) - (x+y)] / (x^2+Y^2)^(1/2)
(x,y)->(0,0)

lim [e^(x-y)-1-x+y] / (x^2+y^2)
(x,y)->(0,0)

Note:(first order approximation thm)
Let A be an open subset of Rn and suppose the function f:A->R is cont. diff. Let X be a point in A. Then

lim f(x+h)-[f(x)+<\/f(x), h>] / ||h|| = 0
(x,y)->(0,0)

Note:(second order approximation thm)
Let A be an open subset of Rn and suppose the function f:A->R is cont. second-order partial diff. Let X be a point in A. Then

lim f(x+h)-[f(x)+<\/f(x), h>+(1/2)<\/^2f(x)h, h>] / ||h||^2 = 0
(x,y)->(0,0)

更新1:

TO即風快客那是倒三角型啦只是我打不出來>"

更新2:

TO教書的可以請你再說明 [sin(x+xy-y) - (x+y)]不等於[ f(X+H)-[f(X)]; [e^(x-y)-1-x+y]不等於[ f(X+H)-[f(X)+(grad f(A), H)] ]. 小妹不才不會算

回答 (3)

教書的

2009-06-13 10:22 am

✔ 最佳答案

你的定理需要澄清一下,因為符號使用混淆易生誤會.
首先複習一下泰勒展開在 f:Rn至R, 當 f是 continuously differentiable twice at A 時:

f(A,H)=f(A)+(grad f(A), h)+1/2 (grad^2 f(A)H, H)+o(||H||^2), （*)

其中 A,H in Rn; grad f=gradient of f=倒三角型 f; ( , ) is inner product; o(||H||^2) 表示這餘項和H長度的平方比較起來是可忽略的. 這只是個symbolic representation for general n, 當n=2, A=(a,b), H=(h,k)時我們有眾所周知的
f(a+h,b+k)=f(a,b)+[fx(a,b)h+fy(a,b)k]+1/2[fxx(a,b)+fxy(a,b)+fyy(a,b)]+o([h^2+k^2]^2),就是這 (*) 之特例. 以此(*) 式我們可以討論f在A附近的連續或微分與否的問題。

其次你的兩個定理因此應該結論如下: [X=(x,y)]
lim[H=(h,k) goes to (0,0)] [ f(X+H)-[f(X)+(grad f(A), H)] ]/ ||h|| =0, and
lim[H=(h,k) goes to (0,0)] [f(X+H)-[f(X)+(gradf(X), H)+(1/2)[(grad^2f(X)H, H)]] / ||H||^2 =0. 比較你原來的敘述看出來混淆的地方了沒?

所以兩題均不符合使用定理：[sin(x+xy-y) - (x+y)]不等於[ f(X+H)-[f(X)］; [e^(x-y)-1-x+y]不等於[ f(X+H)-[f(X)+(grad f(A), H)] ].
定理無誤,只怕誤用.

兩題極限均不存在. 我發覺正確解答已被提供, 這裡不再畫蛇添足.

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[匿名]

2009-06-13 5:03 am

那個定理我有興趣，也想知道你哪誤用ㄌ
但<\/f(x), h>這個是啥？

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myisland8132

2009-06-13 4:59 am

因為若果有極限﹐則無論x與y如何approach都會有極限
例如lim [sin(x+xy-y) - (x+y)] / (x^2+Y^2)^(1/2)
(x,y)->(0,0)
取x=h,y=0﹐變成lim [sin(h) - (h)] / h﹐極限為0
取x=0,y=h﹐變成lim [sin(-h) - (h)] / h﹐極限為-2
矛盾
另一條同理。

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收錄日期: 2021-04-26 13:14:44
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090612000010KK08619

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