急!! 請高手幫忙解一下微積分 贈20點唷!!

微分下列各式
1. y= tan-1 7x
y'=7/(1+49x2)

2. y =2lnx3 =6lnx
y'= 6/x

3. y=sinex
y'= cosex．(ex)

求下列各極限
1. lim (x-sinx)/x = lim 1-cosx /1 (利用L'Hospital rule) =0
x→0+ x→0+

2. lim (1-ex)/2x = lim -ex/2 =-1/2
x→0+ x→0+


某物體與原點位置為 x=2cos2t+sin4t 公尺，求當t=π/4
x= 2cos2(π/4)+sin4(π/4)=0

積分下列各式
1. ∫ lnx /x dx =(1/2)．(lnx)2+c
∫ sinx /x dx 不能以初等函數表示

2. ∫ tan3 xdx = ∫ (sec2x -1)tanx dx = ∫ (sec2xtanx -tanx ) dx
=∫ secx d(secx) - ∫ (sinx )/cosx dx =(1/2)．sec2x +ln|cosx|+c

3. ∫dx/√ (1-x2 ) =sin-1x +c (這個算是公式吧!)

4. ∫3 0 √ (9-x2 )dx (原題目有問題! 我猜你是要算這個)
=(1/2)．√ (9-x2 )|3 0 +(9/2)．sin-1x|3 0
=(-3/2)+(9/2)．(π/2)=9π/4 -3/2

5. ∫ex sinxdx
使用分部積分 ∫udv=uv - ∫ vdu

∫ex．sinx dx = -ex．cosx - ∫ex．(-cosx)dx

= -ex．cosx + (ex．sinx - ∫ ex．sinxdx)

⇒2∫ex．sinxdx = -ex．cosx + ex．sinx=ex(sinx-cosx)

⇒∫ex．sinxdx =ex(sinx-cosx)/2

6. ∫dx/(x2-4) =(1/4)．(ln(x-2) - ln(x+2))=(1/4)ln|(x-2)/(x+2)|+c
因為 1/(x2-4) =(1/4)/(x-2) +(- 1/4)( x+2) (部份分式)

第一位回答者,微分第3題看錯!以致答案錯誤!積分第六題也是錯的!!

2009-06-18 09:17:12 補充：
某物體與原點位置為x=2cos2t+sin4t 公尺，求當t=π/4時之速度
x'(t)=2(-sin2t)*2+cos4t*4
x'(π/4)=- 4sin(π/2)+ 4cosπ =0

2009-06-18 09:19:33 補充：
∫[0~3] √ (9-x² )dx (我用手算了一次,也用mathematica軟體跑一次)答案是
9π/4 -3/2 沒錯!!

微分下列各式
1) y=arctan 7x (arctan 是 tan^-1) -> tan y = 7x -> dy/dx (sec^2 y) = 7

-> dy/dx = 7/(sec^2 y) -> dy/dx = 7/(1+ tan^2 y) -> dy/dx = 7/(1+[7x]^2)

-> dy/dx = 7/(1+49x^2)

2) y = 2 ln(x^3) -> dy/dx = 2*[(3x^2)/(x^3)] -> dy/dx = 6/x

3) y= sin x -> dy/dx = cos x

求下列各極限
1) lim x->0 [(x-sinx)/x] -> lim x->0 [1-sinx/x]

-> lim x->0 [1] - lim x->0 [sinx/x] -> 1- lim x->0 [cosx/1}

-> 1- 1 -> 0

2) lim x->0 [(1-e^x)/2x] -> lim x->0 [- e^x/2] -> -1/2

某物體與原點位置為x=2cos2t+sin4t 公尺，求當t=π/4

x=2cos2t+sin4t -> x=2cos2(π/4) +sin4(π/4)

-> x=2cos(π/2) +sinπ-> x=0

積分下列各式
1) 是sinx/x還是ln/x? 如果是sinx/x那答案是一個特別函數,lnx/x
則是 (log^2 x)/x

2) (sec^2 x)/2 + log(cos(x))

3)arcsin x

4) 看不懂

5) (e^x/2)*(sinx-cosx)

6) 1/4*(log(x-2)+log(x+2))

2009-06-12 12:42:42 補充：
由於積分題的解題步驟過長﹐我只給答案﹐可是做法是用integration by parts, 中文我不懂叫什麼﹐可是你問的問題應該有學吧!!!

2009-06-12 13:51:35 補充：
hmm.....第三題看錯了﹐第六題也打錯了

請問▒是什麼??