differential equation II...*

因為這個方法叫undetermined coefficients,即是估y_p的形式使代入微分方程後會出現g(t)項﹐然後再找出係數。
例如y''-4y'-12y=3e^(5t)
因為d/dt(e^5t)=5e^(5t) 所以不妨令y_p=Ae^(5t)﹐代入微分方程的左手邊後會出現g(t)項。
(25A-20A-12A)e^(5t)=3e^(5t)=>A=-3/7
因此y_p=(-3/7)e^(5t)
若果g(t)是sint,cost的形式﹐則因為(sint)'=cost,(cost)'=sint﹐所以要同時用sint﹐cost才可以肯定得到g(t)項。
例如y''-4y'-12y=sin(2t)
令y_p=Acos2t+Bsin2t﹐代入得到
-4Acos2t-4Bsin2t-4(-2Asin2t+2Bcos2t)-12(Acos2t+Bsin2t)=sin2t
比較係數可得-16A-8B=0,8A-16B=1 =>A=1/40,B=-1/20
y_p=(1/40)cos2t-(1/20)sin2t
若果此法行不通﹐則可以嘗試Cxsin2x + Dxcos2x ,因為代入後仍然可以出到g(t)項﹐只要將不是g(t)形式的項的係數設為0即可。
若果g(t)是多項式﹐則應將y_p設成多項式
例如y''-4y'-12y=2t^3-t+3
可令y_p=At^3+Bt^2+Ct+D,代入後得到
6At+2B-4(3AT^2+2Bt+C)-12(At^3+Bt^2+Ct+D)=2t^3-t+3
A=-1/6,B=1/6,C=-1/9,D=-5/27
y_p=(-1/6)t^3+(1/6)t^2-(1/9)t-(5/27)
若果g(t)是以上簡單形式的乘積﹐則只要將對應的y_p相乘即可
例如
g(t)=16e^(7t)sin10t
可設y_p=e^(7t)(Acos10t+Bsin10t)
g(t)=(9t^2-103t)cost
可設y_p=(At^2+Bt+C)cost+(Dt^2+Et+F)sint