比較大小（二項分配）

在不可使用計算機的情況下，
如何比較C(100,20)*(0.2)^80*(0.8)^20與100*0.2的大小？
Sol
1=(0.2+0.8)^100
=segma(k=0 to 100)_C(100,k)[(0.2)^k]*[(0.8)^(100-k)]
>C(100,80)*(0.2)^80*(0.8)^20
100*02=20
20>1
so
100*0.2>C(100,20)*(0.2)^80*(0.8)^20

2009-06-08 20:00:06 補充：
C(100,20)=100!/(80!20!)=(100*99*98*…*81)/(20!)<5^20
C(100,20)*0.2^20*0.8^80
<5^20*0.2^20*0.8^80
=0.8^80
since 0.8^80<0.2
so
C(100,20)*0.2^20*0.8^80<0.2

2009-06-14 16:13:45 補充：
前補充嚴重錯誤更正如下
20!=20*19*18*...*1
=(20*1)*(19*2)*(17*3)*...(11*10)
>(20)*(20)*(20)*...*(20)
=20^10
100*99*98*...*(81)
=(100*81)*(99*81)*(98*82)...*(91*90)
<(8190)*(8190)*(8190)*...*(8190)
=(8190)^10

2009-06-14 16:14:37 補充：
C(100,20)=100!/(80!20!)=(100*99*98*...*81)/(20*19*18*...1)
<(8190)^10/(20*19*18*...*1)
<(8190)^10/(20)^10
<409.5^10
so C(100,20)<409.5^10
C(100,20)*0.2^80*0.8^20
<(409.5^10)*(0.2^80)*(0.8^20)
=(409.5^10)*(0.2^10)*(0.8^10)*(0.2^70)*(0.8^10)
=(65.52^10)*(0.2^60)*(0.8^10)

2009-06-14 16:15:24 補充：
=(65.52^10)*(0.2^10)*(0.8^10)*(0.2^50)
=(10.4832^10)*(0.2^50)
<(10.5^10)*(0.2^10)*(0.2^40)
=(2.1^10)*(0.2^40)
=(2.1^10)*(0.2^10)*(0.2^30)
=(0.42^10)*(0.2^30)
<0.2

用統計方法
p=0.2
q=0.8
P=C(100,20)*(0.2)^20*(0.8)^80
=C(100,20) p^20 q^80
二項分配

n=100
E=np=20
var=npq=16
O=20
O-E=0

以常態分配近似
t=0/sqrt(16)=0

P~e^(-t^2/2)/sqrt(n)=1/10=0.1
----------
Ex: 當
P=C(100,20)*(0.2)^28*(0.8)^72
O=28
O-E=8
t=8/4=2
P~e^(-t^2/2)/sqrt(n)=1/e^2/10~0.0135
------
這個方法只是取近似值
二項分配以常態分配近似

By Stirling formula: n! ~ √(2πn) * (n/e)^n (n>10已經很準了)
C(100,20)= 100!/(20!*80!)
~ √(200π) * (100/e)^100 /[ √(40π)*(20/e)^20 *√(160π)*(80/e)^80]
~ 10^100/[√(32π) * 2^260]
so, C(100,20)*0.2^20*0.8^20~ 1/(√32π) ~ 1/√100= 0.1 < 0.2

2009-06-17 00:24:23 補充：
In fact, C(100,20)*0.2^20*0.8^80 約 0.0993

如果我在考場
我可能會跟他拼了
不過我會取log再去拼