differential equation...*

1. sin x dy/dx + 2y cos x = cos x
sin^2 x dy/dx + 2y sin x cos x = sin x cos x
[y sin^2 x]' = 1/2 sin(2x)
y sin^2 x = -1/4 cos(2x) + C
y = [-1/4 cos(2x) + C] / sin^2 x

2. (dy/dx)^2 = (x+1) / (x+2)^2
dy/dx = +/- √(x+1) / (x+2)
y = +/- 2[√(x+1) - tan^-1√(x+1) + C]

對於Ae^(r1x)+Be^(r2x)和Asin2x+Bcos2x，
其實都屬於「二階常系數線性常微分方程」既解既形式。

對於任意微分方程，一般都冇公式求解，
只有幾類特殊既形式先可以求解……
而你學微分方程既時候，都大致學左邊D可以有得解。

對於二階常系數線性ODE，會有下面既樣：ay"+by'+cy=0 (or d)
解呢條方程，會先解一個輔助方程 aλ^2 + bλ + c = 0

若方程有兩實根 r1, r2，則解的形式為 Ae^(r1x)+Be^(r2x)
若有兩個等根r，則解的形式為(A+Bx)e^(rx)
若有兩複根α+/-βi，則解的形式為e^(αx) [Acosβx+Bsinβx]

解完呢個之後，如果方程屬於非齊次，就再要求出特解。
若是IVP，則要代入初值條件去求出常數。

如果auxiliary equation的解是real number的解，就應該是Ae^(r1x)+Be^(r2x)這個form

如果是purely imaginary number解，就是Asin(2x) + Bcos(2x), 這個auxiliary的解應該是k = +- 2i

如果是a + bi, 那麼答案就是e^ax(Asinbx + Bsinbx)

謝謝EMK及wkho28的指點^^

"EMK" 朋友的解答已很清晰.


讓我再給你一個例子, 請參考以下有關 Second Order Ordinary Differential Equation 的實例 :
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009041502171

2009-06-07 11:56:48 補充：
m d^2xh(t)/dt^2+kxh(t)=0 是 Simple Harmonic Ocsillation
至於 Fcoswt 是 External periodic driving force
因此 m d^2x/dt^2+kx=Fcoswt 是 Forced oscillation


這是 Applied Maths 常見的問題.
我的解釋很粗略, 並不嚴格. 讀 Pure Maths 的人會難以接受, 但對初學 Applied Maths 的同學會容易掌握.
希望你明白.