高一數學難題(急 10點)

設 188= na+ r1
250= nb+ r2
333= nc + r3, a, b, c, r1,r2, r3>0
2r2=r1+r3=> 2(250-nb)= 188-na+ 333-nc
=> (a+c - 2b)n = 21
故 n為 21之因數, n可能為 1, 3, 7, 21
n=1, 3不合(因 r3=0)
n=7時, a=26, r1= 6
b=35, r2= 5
c=47, r3= 4
符合題目要求, 故n最小= 7

188=q1N+r1---第1式
250=q2N+r2---第2式
333=q3N+r3---第3式

餘數 r1 r2 r3 相成不為0 即 r1 r2 r3 任一數不為0

2 r2= r1+ r3 所以 2r2-(r1+r3)=0

第2式*2-(第1式+第3式)

500-188-333=2q2N-q1N-q3N+[2 r2-( r1+ r3)]

提出N 且 2r2-(r1+r3)=0代入

500-521=N(2q2-q1-q3)+0

整理

-21=N(2q2-q1-q3)

注意:(2q2-q1-q3)此時不討論 僅討論 -21=N乘以某整數K

即 -21=N(K)
N=正負1 3 7 21

正負1不合 如果除以正負1 所有數除1 將會整除 r1 r2 r3 皆等於0
正負3不合 333除以正負1 整除 r3將等於0
正7 r1=6 r2=5 r3=4 符合2 r2= r1+ r3 且 皆不為0 成立
負7 r1=1 r2=2 r3=3 符合2 r2= r1+ r3 且 皆不為0 成立
正21 r1=20 r2=19 r3=18 符合2 r2= r1+ r3 且 皆不為0 成立
負21 r1=1 r2=2 r3= 3 符合2 r2= r1+ r3 且 皆不為0 成立

故次數最小為 -21